Domaine de continuité
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Ssophie90 dernière édition par
Bonjour,
je travaille sur un exercice d 'approfondissement sur la continuité,il est question de déterminer le domaine de continuité,
j 'ai l'impression que c 'est plus subtil que le domaine de définition?
si je prends en exemple : 1x\frac { 1 }{ x }x1
df=df=df=$\mathbb{r}_^*$
la fonction est définie sur $\mathbb{r}_^*$ et a priori continue dans cet ensemble
le domaine de continuité c'est tous les éléments de dfdfdf sauf le 0 ?
bizarre cette question
merci d'avance,
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Si une fonction est définie sur R*, rien ne prouve qu'elle est continue sur R*
Par contre, si elle est dérivable sur R*, elle est (par Théorème) , continue sur R*
Dérivable=> continue
Dans l'exemple donnée,f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2}f′(x)=−x21
f dérivable sur R* donc continue sur R*
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Si une fonction est définie sur R*, rien ne prouve qu'elle est continue sur R*
Par contre, si elle est dérivable sur R*, elle est (par Théorème) , continue sur R*
Dérivable=> continue
Dans l'exemple donnée,f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2}f′(x)=−x21
f dérivable sur R* donc continue sur R*
Rappel : un exemple que je t'ai déjà indiqué :
La fonction Partie Entière est définie sur R mais elle n'est pas continue sur R
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Ssophie90 dernière édition par
merci mtschoon
j 'oublie souvent de lier la dérivation à la continuité, la fonction partie entière montre des points de discontinuité en s'approchant de l'entier .C'est le bonne exemple.
si je reprends en disant 1x\frac { 1 }{ x }x1 est définie et dérivable surr<em>∗\mathbb{r}<em>^*r<em>∗. donc continue surr</em>∗\mathbb{r}</em>^*r</em>∗
pourquoi me demande t'on de chercher l'ensemble de continuité,et non le domaine de la fonction?Est ce la même chose? j' ai l'impression que c'est plus subtil
merci,
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mtschoon dernière édition par
Citation
pourquoi me demande t'on de chercher l'ensemble de continuité ?
C'est l'énoncé qui décide....Comme je te l'ai déjà indiqué, ce n'est pas pareil !
Le domaine de définition est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est calculable
Le domaine de continuité est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f est continue.
Evidemment le domaine de continuité est inclus dans le domaine de définition mais pas nécessairement égal (- voire la fonction partie entière-)
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Ssophie90 dernière édition par
ah oui,
pour ce cas précis1x\frac { 1 }{ x }x1. dc=dfdc=dfdc=df=]−∞,0[u]0,∞[=]-\infty ,0[u]0,\infty [=]−∞,0[u]0,∞[
c 'est la première fois que je fais fasse à cette notion
merci mtschoon, je peux répondre maintenant à la seule question de l'exo..
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mtschoon dernière édition par
De rien !
Evidemment, passer par la dérivabilité lorsque c'est possible est le plus rapide.
Si tu veux rester dans l'idée de continuité, tu peux utiliser les propriétés des fonctions usuelles dont on connait la continuité.
Dans ton exemple :
x -> 1 est une fonction constante que l'on sait continue sur R
x -> x est une fonction affine que l'on sait continue sur RLe quotient de 2 fonctions continues est une fonction continue avec la condition" dénominateur non nul"
Donc x->1/x continue sur R∗R^*R∗
Je te mets un lien :
http://homeomath2.imingo.net/foncont.htm
Bon travail.
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Ssophie90 dernière édition par
****Bonsoir,
je dois déterminer l'ensemble de continuité des fonctionsfffsuivantes et préciser la nature des points de discontinuité.
J 'ai fais l'étude au complet, qu'est ce qu'on entend par "la nature des points" ceci m'empêche de conclure? Dans les livres j ai rien trouvée...
voici l'exos
1)x↦2x2+x−1x+1x\mapsto \frac { { 2x }^{ 2 }+x-1 }{ \sqrt { x+1 } }x↦x+12x2+x−1
x↦2x3+2x2−x−1∣x+1∣x\mapsto \frac { { 2x }^{ 3 }+{ 2x }^{ 2 }-x-1 }{ |x+1| }x↦∣x+1∣2x3+2x2−x−1
1)
x↦2x2+x−1x\mapsto { 2x }^{ 2 }+x-1x↦2x2+x−1: fonction polynome,continue sur r\mathbb{r}r.$x\mapsto \frac { 1 }{ \sqrt { x+1 }$: définie et dérivable à condition que$x>-1$,donc continue ssi x∈]−1,∞[x\in ]-1,\infty [x∈]−1,∞[
Le produit de fonctions continues est une fonction continue,l’intervalle de continuité est équivalent au domaine de définition.
dc=]−1,∞[{ d }_{ c }=]-1,\infty [dc=]−1,∞[f(x)=2x2+x−1x+1=2x2+2x−x−1x+1=2x(x+1)−(x+1)x+1=2x−1(x+1)x+1f\left( x \right) =\frac { { 2x }^{ 2 }+x-1 }{ \sqrt { x+1 } } =\frac { { 2x }^{ 2 }+2x-x-1 }{ \sqrt { x+1 } } =\frac { 2x\left( x+1 \right) -\left( x+1 \right) }{ \sqrt { x+1 } } =\frac { 2x-1\left( x+1 \right) }{ \sqrt { x+1 } }f(x)=x+12x2+x−1=x+12x2+2x−x−1=x+12x(x+1)−(x+1)=x+12x−1(x+1)
=2x−1.x+1=2x-1.\sqrt { x+1 }=2x−1.x+1
puisque,$x>-1$
limx→−1+2x−1.x+1=−3limx→−1+−1++1=0\lim _{ x\rightarrow { -1 }^{ + } } 2x-1.\sqrt { x+1 } =-3\lim _{ x\rightarrow { -1 }^{ + } } \sqrt { -{ 1 }^{ + }+1 } =0limx→−1+2x−1.x+1=−3limx→−1+−1++1=0
f(−1)=0f\left( -1 \right) =0f(−1)=0
La fonction peut être définie pour x=−1x=-1x=−1 ,on parle alors de discontinuité apparente!
2)
x↦2x3+2x2−x−1∣x+1∣x\mapsto \frac { { 2x }^{ 3 }+{ 2x }^{ 2 }-x-1 }{ |x+1| }x↦∣x+1∣2x3+2x2−x−1 : fonction rationnelle définie et dérivable à condition que x≠−1x\neq-1x=−1
.Evidement continue si x∈x\inx∈]−∞;−1[⊔]−1;∞[]- \infty ; -1[\sqcup ]-1; \infty []−∞;−1[⊔]−1;∞[c’est d’ailleurs le domaine de continuité.
methode de ruffini
{x0=−1 2x3+2x2−x−1=(x+1)(2x2−1)\begin{cases} { x }_{ 0 }=-1 \ { 2x }^{ 3 }+{ 2x }^{ 2 }-x-1=\left( x+1 \right) \left( 2{ x }^{ 2 }-1 \right) \end{cases}{x0=−1 2x3+2x2−x−1=(x+1)(2x2−1)
si${ x }^{ * }>-1\quad \quad \quad x\mapsto \frac { \left( x+1 \right) \left( 2{ x }^{ 2 }-1 \right) }{ x+1 }$
*l'égalité n'est plus conservé.. un petit doute?
si x<-1x↦−(x+1)(2x2−1)x+1x\mapsto-\frac {\left( x+1 \right) \left( 2{ x }^{ 2 }-1 \right)}{ x+1 }x↦−x+1(x+1)(2x2−1)
$f(x) =\begin{cases}2x^2-1 &]-1; \infty [\1-2x^2 &]- \infty ; -1[\end{cases}$
ainsi,
limx→−1+2x2−1≠limx→−1−−2x2+1\lim _{ x\rightarrow { -1 }^{ + } }{ 2x } ^{ 2 }-1\neq \lim _{ x\rightarrow { -1 }^{ - } }{ -2x } ^{ 2 }+1limx→−1+2x2−1=limx→−1−−2x2+1
f(−1)f\left( -1 \right)f(−1) n existe pas ,puisque les limites existent et sont finies, mais ne sont pas égales. Alors le réél -1 est appelée discontinuité de saut ou discontinuité de première espèce!
merci
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mtschoon dernière édition par
Vu l'heure tardive, je ne regarde pas tes exemples ce soir
Pour les notions des points de discontinuité, tu peux peut-être regarder cet article :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Classification_des_discontinuités
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Ssophie90 dernière édition par
merci mtschoon
bonne nuit.
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Je regarde tes réponses.
Tes démarches sont bonnes, mais il faut éviter des incorrections dans les conclusions
- Le domaine de définition et de continuité de f est ]-1,+∞[
f(x)=(2x−1)x+1f(x)=(2x-1)\sqrt{x+1}f(x)=(2x−1)x+1 n'est valableQUE pour x > -1 ; f(-1) n'existe pas.
Il faut changer de notation ( plus précisément créer un nouvelle fonction)
Soit g(x)=(2x−1)x+1g(x)=(2x-1)\sqrt{x+1}g(x)=(2x−1)x+1 le domaine de définition et de continuité de g est [-1,+∞[
g s'appelle le "prolongement par continuité de f en -1, à droite"
BILAN
Pour x > -1 : g(x)=f(x)
Pour x=-1 : f(-1) n'existe pas ; g(-1)=0- Même principe.
Le domaine de définition et de continuité de f est R / {-1} . f(-1) n'existe pas.
Soit g le prolongement par continuité de f en -1, à droite :
g(x)=2x2−1g(x)= 2x^2-1g(x)=2x2−1Pour x > -1: f(x)=g(x)
Pour x=-1 : f(-1) n'existe pas ; g(-1)=1Soit h le prolongement par continuité de f en -1, à gauche :
h(x)=−2x2+1h(x)=-2x^2+1h(x)=−2x2+1Pour x < -1: f(x)=h(x)
Pour x=-1 : f(-1) n'existe pas ; h(-1)=-1
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Ssophie90 dernière édition par
ah oui ,
l'idée principale est en faite d'effacer le ou les points de discontinuité en créant une nouvelle fonction dite de prolongement.
merci mtschoon pour ce cours,
bon dimanche,
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mtschoon dernière édition par
C'est bien ça !
Bon dimanche à toi .