Traduire une variable par une fonction second degré et résoudre

Bonsoir,

Je vous demande de l'aide, car malgré plusieurs recherches, je n'y comprends vraiment rien...

L'énoncé :

Une entreprise propose des objets que d'autres sociétés peuvent faire personnaliser à leur nom pour les utiliser comme support publicitaire. Les contraintes de fabrication imposent une production compris entre 400 et 1200 unités.
Le coût de production ( en euros ) est donné en fonction du nombre n d'objets fabriqués par : C(n) = -0.002n² + 5n + 4000
Le prix de vente de n objets ( en euros ) est donné par la relation :
P(n) = 4n + 3880

Soit R le résultat pour la vente de n objets. Calculer R(n) en fonction de n.
Sur une commande, l'entreprise réalise un bénéfice de 600euros. Calculer le nombre d'objets correspondant à cette commande.
Déterminer le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise réalise un bénéfice.
R(n) = P(n) - C(n)
R(n) = 4n+3880-(-0.002n²+5n+4000)
R(n) = 0.002n²-n-120

(je suppose qu'il faut calculer le discriminant...)
Δ = 1²-40.002(-120)
Δ = 1.96

Cependant je ne trouve pas ça très concluant.... Ça ne répond pas au problème j'ai l'impression... Que faire ?

0.002n²-n-120=600
0.002n²-n-720=0

(idem je suppose qu'il faut calculer le discriminant...)
Δ=1²-40.002(-720)
Δ=6.76

Mais idem je ne penses pas que ce soit ce qui est attendu et je ne sais pas comment faire, comment continuer...

Là je n'ai encore rien trouvé...

Merci d'avance pour votre aide,
Bonne soirée

Bonjour,

Piste,

Pour la 1) on te demande seulement d'exprimer R(n) en fonction de n pour t'en servir dans les questions suivante.
Tu n'as rien à faire d'autre

Pour la 2), tu dois effectiement résoudre R(n)=600
c'est une équation du second degré que tu as résoudre

Apès le discrimimant (strictement positif), tu dois calculer (avec les formules usuelles de résolution) les solutions $n_1$ et $n_2$
Tu ne conserves que la solution positive (que tu arrondis si nécessaire)

Pour la 3), tu dois résoudre l'inéquation R(n) > 0 (inéquation du second degré)

Bonjour et merci pour votre aide !

Donc pour la 1) la réponse est seulement R(n) = 0.002n²-n-120 ?

Pour la 2) j'ai donc calculé ces 2 solutions à partir du discriminant (6.76) :
$x_1$ = -0.002-√6.76 / 2*1
$x_1$ = -1.301

$x_2$ = -0.002+√6.76 / 2*1
$x_2$ = 1.299

Donc la solution positive que je conserve serait 1.299 (1.3) ?

Pour la 3) c'est :
0.002²-n-120<0 ?
Et si je trouve son discriminant, cela fait 1.96...
Je ne suis pas sûre de savoir comment résoudre cette inéquation...

Pour la 2)

Je te suggère d'écrire Δ sous forme fractionnaire

$Δ=16925=(135)2\Delta=\frac{169}{25}=(\frac{13}{5})^2$

Ainsi $Δ=135=2.6\sqrt\Delta=\frac{13}{5}=2.6$ (si tu préfères)

x1 et x2 sont inexacts (tes formules sont fausses - revois ton cours) et appelle ces solutions n1 et n2, vu que l'inconnue s'appelle n.

Je suis désolée mais je ne comprends pas le système avec les fractions...
Pour calculer le discriminant, j'ai utilisé la formule b²-4ac
Ce n'est donc pas 6.76 ?
Si ce n'est pas le cas, c'est normal que mes solutions soient faussent... Mais mes formules ont été :
$n_1$ =-b-√Δ / 2a
$n_2$ =-b+√Δ / 2a

la discriminant est bien 6.76=169/25

Les formules que tu viens d'indiquer sont bonnes mais il faut les appliquer correctement.

Tu fais du "mélange" dans les lettres a, b, c

Je vois merci !
Donc sommes-nous d'accord que 0.002 = a, n = b, et -720 = c ?

En me relisant, j'admets avoir mélangé les lettres :frowning2:
Donc ce serait :
$n_1$ =-1-√6.76 / 2*0.002
=-0.0036

$n_2$ =-1+√6.76 / 2*0.002
=0.0016

Serait-ce ça les réponses ?

Non...

a=0.002
b=-1
c=-720

Recompte encore.

Les solutions que tu dois trouver sont 900 et -400

Je viens de comprendre pourquoi j'avais toujours ses résultats... J'ai jusqu'à présent fait le calcul en une seule fois... J'ai dû mal à voir pourquoi c'est faux, m'enfin... En séparant correctement le calcul du numérateur et du dénominateur et en le faisant en plusieurs étapes, j'ai bien trouvé 900 pour $n_1$ et -400 pour $n_2$ .
Merci à vous

Donc 900 et -400 correspondent aux nombres d'objets de cette commande ?

Comme le nombre d'objets de cette commande est forcément positif, seul 900 est la réponse.

Très bien merci !
Ça me semble plus logique maintenant

Cependant... il reste le 3) que je n'arrive pas, je ne comprends pas comment faire...
Vous avez dit qu'l fallait calculer l'inéquation R(n) > 0
Tout ce dont j'ai pu faire (et ce n'est rien) est : 0.002²-n-120>0

R(n) > 0 <=> 0.002n²-n-120 > 0

Regarde ton cours sur "signe d'un polynôme du second degré"

Tu dois d'abord résoudre l'équation : 0.002n²-n-120 = 0

Tu trouveras deux solutions ( -100 et 600)

Pour n < -100 et pour n > 600 , le polynôme 0.002n²-n-120 est du signe de "a" c'est à dire positif

Pour -100 < n < 600, le polynôme 0.002n²-n-120 est du signe contraire à "a" c'est à dire négatif

Il faudra ensuite tirer la conclusion en pensant que n est positif

J'ai compris grâce à vous le début, merci bien !
Mon discriminant est 1.96, et avec ça j'ai pu trouver les deux solutions -100 et 600
Ensuite j'ai fait mon tableau de signe :
n |-∞__-100_____600__+∞_|
R(n) |+0-0+___|

J'ai mis les '+' aux extrémités, car R(n) est de signe de a (0.002 -> positif)
R(n) est donc positif de -∞ à -100 puis et négatif jusqu'à 600 et ensuite il redevient positif

C'est comme ça ?

C'est tout à fait ça.

Il te reste à conclure sur le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise réalise un bénéfice.

Bonsoir Amélie,

Le raisonnement est juste.
Il manque la conclusion , n est un nombre d'objets
L'entreprise réalise un bénéfice si n ........ (à compléter)

Désolé mtschoon je n'avais pas vu ta réponse.

Pas d'importance Noemi, l'essentiel est qu'Amélie trouve la conclusion !

Bonsoir !
Merci pour vos aides !
Mais (au vu de ma super logique...) comment fait-on pour calculer ce nombre d'objet qui a permit ce bénéfice ? Je suppose que ça a un lien avec le tableau de signe, mais je ne vois quand même pas comment s'y prendre... Est-ce le 600 qui est le nombre d'objet permettant le bénéfice ?

*Je suis désolée de demander autant comment s'y prendre... Peut-être que la solution est sous mes yeux, mais je ne le sais pas parce que je ne sais pas pourquoi c'est cette solution *

Oui, la solution est sous tes yeux...

Pour n > 600 , R(n) > 0 ce qui veut dire que l'entreprise réalise un bénéfice.

Si on veut vraiment préciser :

Pour n=600, l'entreprise est en équilibre financier (bénéfice nul)

Pour n=601, 602, ....l'entreprise réalise un bénéfice (strictement positif)

Cela voudrait dire que S=[601;+∞] ?

Si tu appelles S l'ensemble des solutions naturelles de l'inéquation R(n)>0, S est l'ensemble des naturels contenus dans l'intervalle [601,+∞[

Il faut mettre un crochet ouvert à +∞ car +∞ n'est pas un nombre

Il faut répondre à la question posée : le nombre d'objets à partir duquel l'entreprise réalise un bénéfice est 601

Ça y est j'ai tout compris !
Et puis j'ai eu mon contrôle aujourd'hui, avec le même exercice (avec des chiffres un peu différents) et j'ai su répondre à tout

Je vous remercie sincèrement pour votre temps, votre aide, vos explications, vous m'avez énormément aidé !

De rien et très contente que ton contrôle se soit bien passé !

A+