Étudier une suite

Bonjour ,

Étudier le sens de variation de la suite (In) définie , pour tout entier naturel n non nul par

In = $∫2n2n+11xln(x)\int_{2^{n}}^{2^{n+1}}{\frac{1}{xln(x)}}$ dx
= $[ln(ln(x)]\left[ln(ln(x) \right]$
= ln(ln (2^n))- ln(ln(2^n+1))
= ln $ln(2n+1)ln(2n)\frac{ln(2^{n+1})}{ln(2^{n})}$

J'ai du mal ensuite à étudier le sens de variation

Re-bonjour,

Piste,

Tu exprimes $I_{n+1}$ ( en remplaçant n par (n+1) dans l'expression de In )

Tu exprimes $I$ _{n+1} $I_n$ en fonction de n ( tu simplifies l'expression ) et tu détermines le signe, sachant que n ≥ 1

In+1 = $\left[ln(2^{n+2}- ln(2^{n+1}) \right]$

In+1 - In = $\left[ln(2^{n+2}- ln(2^{n+1}) \right]$ - $(ln[ln(2n+1−ln(2n)])(ln\left[ln(2^{n+1}-ln (2^{n})\right])$
= ln $[ln(2n+1)+ln(2n)−ln(2n+2)+ln(2n+1)]\left[ln(2^{n+1})+ ln(2^{n}) - ln(2^{n+2})+ ln (2^{n+1})\right]$
= ln $[ln(2n)−ln(2n+2)+2ln(2n+1)]\left[ln(2^{n}) - ln(2^{n+2})+ 2ln (2^{n+1})\right]$

pouvez vous me dire si je suis sur la bonne voie ?

ça ne va pas car le logarithme d'une différence n'est pas égal à la différence des logarithmes.

Il faut revoir les expressions de $I_n$ et $I_{n+1}$

Simplifie $I_n$ avec la propriété des puissances

$in=ln((n+1)ln2nln2)=lnn+1ni_n=ln(\frac{(n+1)ln2}{nln2})=ln\frac{n+1}{n}$

D'accord je revois ca

In+1 = ln $n+2n+1\frac{n+2}{n+1}$
In = ln $n+1n\frac{n+1}{n}$

donc In+1 - In = ln $n+2n+1\frac{n+2}{n+1}$ - ln $n+1n\frac{n+1}{n}$

Avec n > 1
$\geq n+1 \leftrightarrow \frac{n+2}{n}\geq \frac{n+1}{n}$

donc La suite (In) est croissante pour tout entier naturel n

La fin de ton explication ne va pas

Ce n'est pas $n+2n\frac{n+2}{n}$ et $n+1n\frac{n+1}{n}$ qu'il faut comparer mais c'est $n+2n+1\frac{n+2}{n+1}$ et $n+1n\frac{n+1}{n}$ qu'il faut comparer.

Mais ca reviendrait à dire quand même que $n+2n+1≥n+1n\frac{n+2}{n+1} \geq \frac{n+1}{n}$ non ?

Non...

Pour te faire une idée, prends un exemple simple n=1 et regarde ce que cela donne...

Ensuite, essaie de prouver que $n+2n+1≤n+1n\frac{n+2}{n+1}\le \frac{n+1}{n}$

Ah bah oui ...

Donc $\geq n+1 \leftrightarrow \frac{n+2}{n}\geq \frac{n+1}{n}\leftrightarrow \frac{n+2}{n+1}\leq \frac{n+1}{n}$

J en conclus que la suite (In) est décroissante pour tout entier naturel n

La dernière équivalence logique n'est pas bonne

Par exemple , tu peux calculer la différence

$n+2n+1−n+1n=n(n+2)−(n+1)2n(n+1=...=−1n(n+1)\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{n(n+2)-(n+1)^2}{n(n+1}=...=\frac{-1}{n(n+1)}$

Donc $n+2n+1−n+1n≤0\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n} \le 0$ donc $n+2n+1≤n+1n\frac{n+2}{n+1}\le\frac{n+1}{n}$

Ensuite, n'oublie pas de préciser que la fonction ln est strictement croissante

d'où $lnn+2n+1≤lnn+1nln\frac{n+2}{n+1}\le ln \frac{n+1}{n}$ d'où...

Ta conclusion est bonne, mais précise "pour tout entier naturel non nul"

D'où $\leq 0$

Merci beaucoup de votre aide ; )

De rien ! (précise bien que la suite (In) est décroissante pour tout entier naturel n non nul )

Oui : )

A+