Étudier une suite


  • A

    Bonjour ,

    Étudier le sens de variation de la suite (In) définie , pour tout entier naturel n non nul par

    In = ∫2n2n+11xln(x)\int_{2^{n}}^{2^{n+1}}{\frac{1}{xln(x)}}2n2n+1xln(x)1 dx
    = [ln(ln(x)]\left[ln(ln(x) \right][ln(ln(x)]
    = ln(ln (2^n))- ln(ln(2^n+1))
    = ln ln(2n+1)ln(2n)\frac{ln(2^{n+1})}{ln(2^{n})}ln(2n)ln(2n+1)

    J'ai du mal ensuite à étudier le sens de variation 😕


  • mtschoon

    Re-bonjour,

    Piste,

    Tu exprimes In+1I_{n+1}In+1 ( en remplaçant n par (n+1) dans l'expression de In )

    Tu exprimes III_{n+1}−In-I_nIn en fonction de n ( tu simplifies l'expression ) et tu détermines le signe, sachant que n ≥ 1


  • A

    In+1 = ln[ln(2n+2−ln(2n+1)]ln \left[ln(2^{n+2}- ln(2^{n+1}) \right]ln[ln(2n+2ln(2n+1)]

    In+1 - In = ln[ln(2n+2−ln(2n+1)]ln \left[ln(2^{n+2}- ln(2^{n+1}) \right]ln[ln(2n+2ln(2n+1)] - (ln[ln(2n+1−ln(2n)])(ln\left[ln(2^{n+1}-ln (2^{n})\right])(ln[ln(2n+1ln(2n)])
    = ln [ln(2n+1)+ln(2n)−ln(2n+2)+ln(2n+1)]\left[ln(2^{n+1})+ ln(2^{n}) - ln(2^{n+2})+ ln (2^{n+1})\right][ln(2n+1)+ln(2n)ln(2n+2)+ln(2n+1)]
    = ln [ln(2n)−ln(2n+2)+2ln(2n+1)]\left[ln(2^{n}) - ln(2^{n+2})+ 2ln (2^{n+1})\right][ln(2n)ln(2n+2)+2ln(2n+1)]

    pouvez vous me dire si je suis sur la bonne voie ?


  • mtschoon

    ça ne va pas car le logarithme d'une différence n'est pas égal à la différence des logarithmes.

    Il faut revoir les expressions de InI_nIn et In+1I_{n+1}In+1

    Simplifie InI_nIn avec la propriété des puissances

    in=ln((n+1)ln2nln2)=lnn+1ni_n=ln(\frac{(n+1)ln2}{nln2})=ln\frac{n+1}{n}in=ln(nln2(n+1)ln2)=lnnn+1


  • A

    D'accord je revois ca


  • A

    In+1 = ln n+2n+1\frac{n+2}{n+1}n+1n+2
    In = ln n+1n\frac{n+1}{n}nn+1

    donc In+1 - In = ln n+2n+1\frac{n+2}{n+1}n+1n+2- ln n+1n\frac{n+1}{n}nn+1

    Avec n > 1
    n+2≥n+1↔n+2n≥n+1nn+2 \geq n+1 \leftrightarrow \frac{n+2}{n}\geq \frac{n+1}{n}n+2n+1nn+2nn+1

    donc La suite (In) est croissante pour tout entier naturel n


  • mtschoon

    La fin de ton explication ne va pas

    Ce n'est pasn+2n\frac{n+2}{n}nn+2 et n+1n\frac{n+1}{n}nn+1 qu'il faut comparer mais c'est n+2n+1\frac{n+2}{n+1}n+1n+2 et n+1n\frac{n+1}{n}nn+1 qu'il faut comparer.


  • A

    Mais ca reviendrait à dire quand même que n+2n+1≥n+1n\frac{n+2}{n+1} \geq \frac{n+1}{n}n+1n+2nn+1 non ?


  • mtschoon

    Non...

    Pour te faire une idée, prends un exemple simple n=1 et regarde ce que cela donne...

    Ensuite, essaie de prouver que n+2n+1≤n+1n\frac{n+2}{n+1}\le \frac{n+1}{n}n+1n+2nn+1


  • A

    Ah bah oui ...

    Donc n+2≥n+1↔n+2n≥n+1n↔n+2n+1≤n+1nn+2 \geq n+1 \leftrightarrow \frac{n+2}{n}\geq \frac{n+1}{n}\leftrightarrow \frac{n+2}{n+1}\leq \frac{n+1}{n}n+2n+1nn+2nn+1n+1n+2nn+1

    J en conclus que la suite (In) est décroissante pour tout entier naturel n


  • mtschoon

    La dernière équivalence logique n'est pas bonne

    Par exemple , tu peux calculer la différence

    n+2n+1−n+1n=n(n+2)−(n+1)2n(n+1=...=−1n(n+1)\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{n(n+2)-(n+1)^2}{n(n+1}=...=\frac{-1}{n(n+1)}n+1n+2nn+1=n(n+1n(n+2)(n+1)2=...=n(n+1)1

    Donc n+2n+1−n+1n≤0\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n} \le 0n+1n+2nn+10 donc n+2n+1≤n+1n\frac{n+2}{n+1}\le\frac{n+1}{n}n+1n+2nn+1

    Ensuite, n'oublie pas de préciser que la fonction ln est strictement croissante

    d'où lnn+2n+1≤lnn+1nln\frac{n+2}{n+1}\le ln \frac{n+1}{n}lnn+1n+2lnnn+1 d'où...

    Ta conclusion est bonne, mais précise "pour tout entier naturel non nul"


  • A

    D'où in+1−in≤0in+1 - in \leq 0in+1in0

    Merci beaucoup de votre aide ; )


  • mtschoon

    De rien ! (précise bien que la suite (In) est décroissante pour tout entier naturel n non nul )


  • A

    Oui : )


  • mtschoon

    A+ 😄


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