Autres Limites TS+

Bonjour

Ah Oui, c'est sure chaque détails à son importance,le prof me le dis souvent, faut être hyper rigoureux et surtout en Sup.
Justement, pour ne rien laisser au hasard , comment justifier l'utilisation des log,faut il le faire par rapport à
$df=x\in{\displaystyle \mathbb {r^*+}$.Ou alors par rapport à $d g$ ? ou simplement dire que les termes sont positifs.

Merci, d'avance , bonne jrnée

la limite en $1$

$f(x)=(x1−ln⁡x)arctan⁡−1(x−1)f\left( x \right) =\left( \frac { x }{ 1-\ln { x } } \right) ^{ \arctan ^{ -1 }{ \left( x-1 \right) } }$

$}^{ \frac { 1 }{ { 0 }^{ + } } }={ 1 }^{ \infty }$

changement de variable, et équivalence

$u=x-1\rightarrow x=u+1\rightarrow u\rightarrow 0\$

$arctan⁡−1(u)∼01u\arctan ^{ -1 }{ \left( u \right) } \underset { 0 }{ \sim } \frac { 1 }{ u }$

Au voisinage de 0

$g(u)=(u+11−ln⁡(u+1))1u=(u+11−(ln⁡(u+1)u).u)1u=(u+11−u)1ug\left( u \right) =\left( \frac { u+1 }{ 1-\ln { \left( u+1 \right) } } \right) ^{ \frac { 1 }{ u } }=\left( \frac { u+1 }{ 1-\left( \frac { \ln { \left( u+1 \right) } }{ u } \right) .u } \right) ^{ \frac { 1 }{ u } }=\left( \frac { u+1 }{ 1-u } \right) ^{ \frac { 1 }{ u } }$

$(1∞)\left( { 1 }^{ \infty } \right)$

$\left( g\left( u \right) \right) } =\frac { 1 }{ u } \ln { \frac { u+1 }{ 1-u } } =\frac { 1 }{ u } \left[ \ln { \left( u+1 \right) -\ln { \left( 1-u \right) } } \right]$

$ln⁡(g(u))=1u[u(ln⁡(u+1)u)−(ln⁡(1−u)−u)−u]\ln { \left( g\left(u \right) \right) } =\frac { 1 }{ u } \left[ u\left( \frac { \ln { \left( u+1 \right) } }{ u } \right) -\left( \frac { \ln { \left( 1-u \right) } }{ -u } \right) { -u } \right]$

Cl

$lim⁡u→0g(u)=lim⁡u→0e2uu=e2\lim _{ u\rightarrow 0 }{ g\left(u \right) } =\lim _{ u\rightarrow 0 }{ { \quad e }^{ \frac { 2u }{ u } } } ={ e }^{ 2 }$

Bonjour,

J'ai scindé le topic car il commençait à être trop long...* (pas commode ! )

J'ignore si j'ai bien compris ta première interrogation...

Lorsqu'on a une fonction f à étudier, on cherche l'ensemble de définition Df
Ensuite, toutes les transformations effectuées doivent être des transformations applicables sur Df

L'écriture de la dernière fonction f me laisse perplexe...(je n'ai pas regardé les calculs effectués)

Je vois écris $arctan^{-1}$

Cela veut dire "fonction réciproque de la fonction arctan".

La fonction arctan est la réciproque fonction $t a n$ ( réduite à l'intervalle $-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} [$ )

Tu veux vraiment dire "réciproque de la réciproque de la fonction tangente" ?

Tu veux peut-être parler de l'inverse (au sens de la multiplication) de arctan(x-1), mais ce n'est pas ce qui est écrit...
Dans ce cas, ce serait $arctan(x-1)]^{-1}$ qui vaut $1arctan(x−1)\frac{1}{arctan(x-1)}$

ou bien ?

Merci de préciser.

Bonjour, mtschoon

Ah oui, il s'agit de l'inverse au sens de la multiplication.Ce matin en voulant encoder cette fraction ,un message erreur latex écris en rouge apparaissait systématiquement.

Là sa veut bien bizarrement ,

$(x1−ln⁡x)1arctan⁡(x−1)\left( \frac { x }{ 1-\ln { x } } \right) ^{ ^{ \frac { 1 }{ \arctan { \left( x-1 \right) } } } }$

-au passage des log faut il justifier que la fonction est positive,

merci,

D'accord .

Confusion à ne pas faire, mais dans ton cas il semble que ça soit une faute liée au latex.

Bien sûr, $f^{-1}$ (x)n'a rien à voir avec $strong>[f(x)]^{-1}$

exemple

$strong>exp^{-1}$ (x)=ln(x), vu que ln est la fonction réciproque de exp

[exp $x)]^{-1}$ = $1ex=e−x\frac{1}{e^x}=e^{-x}$

Je n'ai pas regardé tes calculs (je le ferai plus tard) mais je viens de les faire et je trouve la même limite $e^2$

Merci,

Bonjour Sophie90,

Je regarde tes explications.

(Tout ne peut être détaillée sur un forum, bien sûr)

Tu écris que $Df=R*^+$

C'est inexact.

Si f était définie sur ]0,+∞[, elle serait nécessairement définie pour x=1 donc la limite cherchée serait tout simplement f(1) (et l'exercice n'aurait aucun intérêt..)

Il manque deux conditions d'existence pour Df

L'écriture $arctan^{-1}u$ est à banir vu qu'il s'agit de $arctan(u)]^{-1}$

f est bien définie au voisinage de 1
Pour x voisin de 1, avec le changement de variable u=x-1, u est voisin de 0, ce qui ne pose aucun problème pour les expressions en fonction de u utilisées.

Il manque des parenthèses autour de -u "au bout" de l'avant dernière égalité écrite.

Je vois que tu as évité soigneusement de prendre la différence de deux équivalents...c'est bien !

Bonjour,mtschoon

Oui effectivement vous avez raison une erreur d’inattention d'ailleurs $e,1∉dfe,1\notin df$ .
$f (1)$ existe si $g(u)⟶0g(u)\longrightarrow 0$

faut il justifier ceci a chaque fois qu'on fais intervenir les logarithmes? , je trouve que sa complique les choses.

Hier j 'ai réussie à démontrer quelques forme usuels de limite en 0, entre autre en partant de $e^x-1$

On peut construire autant d'équivalent que l'on souhaite en manipulant la formule de dérivabilité, si mon intuition est bonne le $d l$ 1 est simplement l'équation de la tangente au voisinage de ${ x }_{ 0 }$

bon week- end,a vous.

Df = ]0,1[ U ]1,e[ U ]e,+∞[

Donc f(1) n'existe pas. c'est tout.

Ton intuition est bonne relative au DL d'ordre 1 en l'affinant un peu, mais ne parle pas de tangente au voisinage de $x_0$ mais de la tangente en $x_0$

Le DL d'ordre 1 s'appelle parfois "approximation affine" ou "approximation affine tangente"

$strong>f(x)=f(x_0$ )+f' $(x$ _0 $) (x - x$ _0 $o(x-x_0$ ) .

$strong>y=f(x_0$ )+f' $(x$ _0 $x-x_0$ ) : équation de la tangente à la représentation graphique de f en $x_0$

merci

De rien et bon week-end !