Exponentielles double inégalité.

Bonsoir,

j'ai trouvé cet exercice type TS+.

l'énoncé dit :

$x≥0x\ge 0$

$x2e2x−ex≤1−e−x≤1\frac { x }{ 2\sqrt { { e }^{ 2x }-{ e }^{ x } } } \le \sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le 1$ la double inégalité est elle satisfaite?

J'ai procédé en deux étapes.

$1−e−x≤1\sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le 1$ aucune difficulté c'est assez rapide.

2)membre de gauche:

Beaucoup de calcul pour prouver cette inégalité c'est certainement faux.

(avez vous une piste d'étude)?

merci

Bonjour,

Je regarde donc le 2)

Il y a un problème pour x=0 car le membre de gauche n'existe pas pourx=0(dénominateur égal à 0). donc l'inégalité est impossible pour x=0

L'inégalité demandée est à étudier pour x > 0

J'ignore les calculs que tu as fait.

Une idée à creuser éventuellement .(et à expliciter un peux plus que ce que je fais là)

Soit $f(x)=x2e2x−ex−1−e−xf(x)=\frac { x }{ 2\sqrt { { e }^{ 2x }-{ e }^{ x } } } -\sqrt { 1-{ e }^{ -x } }$

Tu réduis au même dénominateur (qui est strictement positif pour x > 0 )

Soit g(x) le numérateur de f(x) . Le signe de f(x) sera donc le signe de g(x)

$g(x)=x-2\sqrt{1-e^{-x}}\sqrt{e^{2x}-e^x}=x-2\sqrt{e^{2x}-2e^x+1} \ \ g(x)=x-2\sqrt{(e^x-1)^2}=x-2(e^x-1)=x-2e^x+2 \$

g est définie, dérivable pour x ≥ 0.
Tu calcules g'(x) . g'(x) < 0 donc g strictement décroissante
Pour x ≥ 0 , le maximum de g(x) est g(0) qui vaut 0
donc, pour x > 0, g(x) < 0 , donc f(x) < 0 , donc l'inégalité de gauche est exacte.

Bonjour,

ah oui, vous avez construit une fonction pour étudier les variations, hier j' ai exploré plusieurs pistes dont une qui se rapproche de vôtre idée .

merci

la voici:

brouillon

$x2e2x−ex−1−e−x≤0\frac { x }{ 2\sqrt { { e }^{ 2x }-{ e }^{ x } } } -\sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le 0$

$x−2(ex−1)22e2x−ex=x−2∣ex−1∣2e2x−ex\frac { x-2\sqrt { { \left( { e }^{ x }-1 \right) }^{ 2 } } }{ 2\sqrt { { e }^{ 2x }-{ e }^{ x } } } =\frac { x-2|{ e }^{ x }-1| }{ 2\sqrt { { e }^{ 2x }-{ e }^{ x } } }$

$\ x>0,\$

$x−2(ex−1)exex−1\frac { x\quad -2\left( { e }^{ x }-1 \right) }{ \sqrt { { e }^{ x } } \sqrt { { e }^{ x }-1 } }$

$t(x)=x−2ex−1ex=xex−21−e−x\ t\left( x \right) =\frac { x\quad -2\sqrt { { e }^{ x }-1 } }{ \sqrt { { e }^{ x } } } =\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } -2\sqrt { 1-{ e }^{ -x } }$

$\frac { x }{ 2\sqrt { { e }^{ 2x }-{ e }^{ x } } } -\sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le 0\$ $↔\leftrightarrow$ $\le 0$

$xex≤21−e−x\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } \le 2\sqrt { 1-{ e }^{ -x } }$

or

$\forall x>0\quad { e }^{ -x }>0\quad \quad \quad \quad 1-{ e }^{ -x }\le 1\quad \rightarrow \quad \sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le 1 \$

$xex≤21−e−x≤2\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } \le 2\sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le 2$ ***

$xex\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } }$ ≥0

$\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } -2\sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le 0\ \$

-l'inégalité $x2e2x−ex≤1−e−x≤1\frac { x }{ 2\sqrt { { e }^{ 2x }-{ e }^{ x } } } \le \sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le 1$ est satisfaite.

Je ne suis pas convaincue de cette démonstration peut être qu'il faut développer d'avantage..

a partir de***

$\ 0\le \quad 2\sqrt { 1-{ e }^{ -x } } -\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } \le \quad 2-\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } \ \$

$xex−2≤xex−21−e−x≤0\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } -2\quad \le \quad \frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } -2\sqrt { 1-{ e }^{ -x } } \le \quad 0$

or

$xex≥0\frac { x }{ \sqrt { { e }^{ x } } } \ge 0$

$−2≤t(x)≤0\quad -2\quad \le \quad t(x)\quad \quad \le \quad 0$

ça me semble plus abouti? merci bonne jrnée

Bonjour, mtschoon

je reviens très vite sur cette inégalité car en posant $g(x)=1−e−xg(x)=\sqrt { 1-{ e }^{ -x } }$ puis en transformant sa dérivée,on frôle le résultat.
Il me manque un x en facteur.

je me demande si cette construction a un lien avec le th des accroissement finis ou de son corollaire.
j'ai un doute car $f (^{'} c) = 0$

Qu-en pensez vous mtschoon?

merci bonne journée

Bonjour Sophie,

Je t’ai proposé une démonstration simple et sans faille.
Je te suggère de l'expliciter et de l'utiliser éventuellement.

Je reste perplexe sur tes essais au "brouillon"...
Je te conseille de les présenter à ton professeur pour avoir son avis.

Bonsoir,mtschoon

J'ai refais les calculs en partant de vôtre démonstration,effectivement c'est simple et rapide c'est parfait.Pour le prof c'est toujours très bien de toute façon,ce n'est pas mon avis,ça me plait pas,d'autant plus que mes transformations sont fausses.(une erreur bête)

Merci bon w-kend.

Bon week-end à toi !