Déterminer la loi de probabilité et l'espérance d'une variable aléatoire

Bonjour,

On a observé la désintégration des atomes de radon grâce à un compteur Geiger. Ces observations ont conduit à modéliser la durée de vie T , mesurée en jours, d'un atome choisi au hasard par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $λ\lambda$

1) a- Déterminer en fonction de $λ\lambda$ le réel d tel que P(T≤d) =1/2 . Le réel d est appelé demi vie du radon.
Pour d j'ai trouvé d= ln(2)/ $λ\lambda$

b- La demi-vie d'un atome de radon 222 est de 3.8 jours . Déterminer alors la valeur de $λ\lambda$
$λ\lambda$ = ln(2)/3.8 = 1.82* $10^{-1}$

2) Soit t>0. Exprimer en fonction de t, la probabilité qu'un atome donné de radon 222 ait une durée de vie supérieure à t .
P(T≥t)= $e−λte^{-\lambda t}$ avec t>0

3) On considère un nombre N d'atomes de radon 222 dont les désintégrations sont supposées indépendantes. ON note X le nombre aléatoire d'atomes encore présents à l'instant t.
a- Quelle est la loi de X ?
Je me suis dit que la il s'agissait de la loi Binomiale puisqu'on a une répétition de N épreuves indépendantes mais j'ai du mal à déterminer le succès

b- Exprimer en fonction de t et N , l'espérance N(t) de X
d'après le cours la formule de l'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale vaut E(x)= n*p

pouvez m'aider svp ?

Bonjour,

Oui pour 1) et 2)

La probabilité qu'un atome donné de radon 222 ait une durée de vie supérieure à t est $e^{-λt}$

Pour la 3)a) , tu as donc une loi Binomiale B(N,p)

La probabilité d'un succès est $p=e^{-λt}$

Pour la 3)b), oui pour E(X)=N x p.

Tu as dû faire une faute de frappe en écrivant l'énoncé car
Citation
espérance N(t) de Xest bizarre...

Merci de votre réponse

pour la 3

scan supprimé.

J'ai consulté ton énoncé scanné avant suppression.

Si j'ai bien lu, à la 3) le nombre d'atomes de radon 222 doit se nommer $N_0$ au lieu de N

Pour la 3)a) , tu as donc une loi Binomiale $B(N_0$ ,p)

p est toujours la probabilité d'un succès , c'est à dire $e^{-λt}$

Pour la 3)b), l'espérance de X, qui est effectivement une fonction de t que ton énoncé appelle N(t), vaut $N_0$ x p = $N_0$ x $e^{-λt }$

merci c etait le N0 qui me genait

De rien !