Déterminer la loi de probabilité et l'espérance d'une variable aléatoire



  • Bonjour,

    On a observé la désintégration des atomes de radon grâce à un compteur Geiger. Ces observations ont conduit à modéliser la durée de vie T , mesurée en jours, d'un atome choisi au hasard par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ\lambda

    1) a- Déterminer en fonction de λ\lambda le réel d tel que P(T≤d) =1/2 . Le réel d est appelé demi vie du radon.
    Pour d j'ai trouvé d= ln(2)/λ\lambda

    b- La demi-vie d'un atome de radon 222 est de 3.8 jours . Déterminer alors la valeur de λ\lambda
    λ\lambda= ln(2)/3.8 = 1.82*10110^{-1}

    2) Soit t>0. Exprimer en fonction de t, la probabilité qu'un atome donné de radon 222 ait une durée de vie supérieure à t .
    P(T≥t)= eλte^{-\lambda t} avec t>0

    3) On considère un nombre N d'atomes de radon 222 dont les désintégrations sont supposées indépendantes. ON note X le nombre aléatoire d'atomes encore présents à l'instant t.
    a- Quelle est la loi de X ?

    Je me suis dit que la il s'agissait de la loi Binomiale puisqu'on a une répétition de N épreuves indépendantes mais j'ai du mal à déterminer le succès

    b- Exprimer en fonction de t et N , l'espérance N(t) de X
    d'après le cours la formule de l'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale vaut E(x)= n*p

    pouvez m'aider svp ?



  • Bonjour,

    Oui pour 1) et 2)

    La probabilité qu'un atome donné de radon 222 ait une durée de vie supérieure à t est eλte^{-λt}

    Pour la 3)a) , tu as donc une loi Binomiale B(N,p)

    La probabilité d'un succès est p=eλtp=e^{-λt}

    Pour la 3)b), oui pour E(X)=N x p.

    Tu as dû faire une faute de frappe en écrivant l'énoncé car
    Citation
    espérance N(t) de Xest bizarre...



  • Merci de votre réponse

    pour la 3

    scan supprimé.



  • J'ai consulté ton énoncé scanné avant suppression.

    Si j'ai bien lu, à la 3) le nombre d'atomes de radon 222 doit se nommer N0N_0 au lieu de N

    Pour la 3)a) , tu as donc une loi Binomiale B(N0B(N_0,p)

    p est toujours la probabilité d'un succès , c'est à dire eλte^{-λt}

    Pour la 3)b), l'espérance de X, qui est effectivement une fonction de t que ton énoncé appelle N(t), vaut N0N_0 x p = N0N_0 x eλte^{-λt }



  • merci c etait le N0 qui me genait



  • De rien !


 

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