Fonction Problème sur dérivée

Bonsoir à tous et à toutes

Pouvez vous m aider car je n'ai jamais fait ce genre d'exo sur les dérivées

Un coffre à bijoux a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée et a un volume imposé de 32.4 L (32.4 dm3).

Le matériau utilisé pour construire les bases coûte 600 euros le mètre carré et celui utilisé pour construire la surface latérale coûte 500 euros le mètre carré.

1- Exprimer le prix de revient P(a) en fonction du côté a (en dm) de la base carrée :
P(a)=
2- En déduire les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal soit :

le coté de la base en dm
hauteur de la boite en dm

merci à vous

Bonjour,

Tu as un "problème sur dérivée" mais...avant de dériver, il faut que tu aies trouvé l'expression de P(a)

Piste,l'unité de longueur étant de dm (d'où unité d'aire en dm² et unité de volume en $dm^3$ )

La base carrée a pour côté a
La surface de chaque base carrée est donc a²

Soit h la hauteur de la boite
La surface de chaque face latérale est donc a x h

Pour calculer h en fonction de a, on utilise le renseignement sur le volume de la boite
V=aire de base x hauteur=a² x h = 32.4
d'où h=32.4 / a²
Donc, la surface de chaque face latérale est a x 32.4 / a² = 32.4 / a

Tu peux déduire de tout cela que :

la surface des deux bases est : 2a²
la surface latérale est : 4 x 32.4 / a=129.6 / a

Il faut maintenant que tu t'occupes du prix

1m²=100 dm²
600 euros le mètre carré revient à payer6€ le dm²
500 euros le mètre carré. revient à payer 5€ le dm²

Avec ces éléments, calcule P(a)

Sauf erreur, tu dois trouver

$p(a)=12a2+648ap(a)=12a^2+\frac{648}{a}$

Reposte si besoin.

Bonjour Mtschoon

C'est très clair avec vos explications

Comment dois je procéder pour la 2ème question

En déduire les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal soit :

le coté de la base en dm
hauteur de la boite en dm

Encore merci à vous

a représente le côté de la base de la boite donca > 0

Pour a appartenant à [0,+∞[, tu étudies les variations de la fonction P

(la variable usuelle, dans ton cours, s'appelle x, mais ici, c'est a, mais ça ne change rien)

Tu dois donc calculer P'(a) et le signe de P'(a) pour en déduire le minimum de la fonction P

désolée je ne comprends pas

J'ignore ce que tu ne comprends pas ...

Regarde ton cours pour savoir comment étudier une fonction (la variable ici s'appelle a). On s'y prend toujours de la même façon.

$p(a)=12a2+648ap(a)=12a^2+\frac{648}{a}$

Avec les dérivées usuelles, tu dois trouver

$p′(a)=24a−648a2p'(a)=24a-\frac{648}{a^2}$

En réduisant au même dénominateur

$p′(a)=24a3−648a2p'(a)=\frac{24a^3-648}{a^2}$

a² > 0 ( vu que a ne peut pas valoir 0)

Le signe de P'(a) est donc le signe de $24a^3-648$

$24a^3-648$ <=> ...
$24a^3-648$ <=> ...
$24a^3-648$ <=> ...

Tu peux faire le tableau de variation de la fonction P sur [0,+∞[ et tirer les conclusions.

je n'arrive pas à faire le tableau de variation
cet exo me bloque complètement

Je pense que tu bloques sur ton cours :étude de fonction.
Tu devrais le revoir.
Sans connaître le cours, tu ne peux pas terminer l'exercice.

Avant de faire le tableau de variation (qui est un résumé de l'étude) il faut faire le travail lindiqué.

As-tu calculé la dérivée correctement ?
As-tu trouvé le signe de la dérivée comme suggéré ?

je comprends pas

Je tente une explication détaillée

Comprends que dans ton cours,a s'appelle x et P s'appelle f
$p(a)=12a2+648ap(a)=12a^2+\frac{648}{a}$

Si les notations te perturbent, en les changeant , tu peux écrire

$648×(1x)f(x)=12x^2+\frac{648}{x}=12\times x^2\ +\ 648\times (\frac{1}{x})$

Appliques les propriétés de ton cours pour calculer la dérivée de f

la dérivée de x² est 2x
la dérivée de 1/x est -1/x²

donc $f′(x)=12×(2x)+648×(−1x2)f'(x)=12\times (2x)+648\times (\frac{-1}{x^2})$

$f′(x)=24x−648x2f'(x)=24x-\frac{648}{x^2}$

En réduisant au même dénominateur

$\fbox{f'(x)=\frac{24x^3-648}{x^2}}$

x² strictement positif (car côté de la base non nul), donc f'(x) du signe de son numérateur $24x^3-648$

On étudie donc le signe de $24x^3-648$

1er cas :

f ' (x) < 0 <=> $24x^3$ -648 < 0 <=> $24x^{3 }$ < 648 <=> $x^3$ < 648/24<=> $x^3$ < 27

27 est le cube de 3, d'où x < 3

Donc, pour x < 3, la dérivée est négative donc la fonction f est décroissante.

Si tu comprends (?) , tu fais le 2ème cas f'(x) > 0

Conclusion du 2ème cas :

Pour x > 3 la dérivée est positive donc f est croissante

Tu fais ensuite le 3ème cas f'(x)=0

Conclusion du 3ème cas :

Pour x = 3 la dérivée est nulle doncf prend sa valeur minimale

Bonnes réflexions.

Bonjour

merci pour vos explications

j'ai tout repris à zéro et je pense avoir compris

merci encore

C'est bien si tu as tout approfondi. C'est la seule façon de progresser !

Bon week-end .

A+