Arithmétique PPCM Divisibilité

[erico55]

bonjour
j'ai besoin d'aide avec la premier question I et II- 4)-b-d-

voilà l'énoncé

I— Résoudre dans NN, le système S
ab= 12600
ppcm(a,b) = 1260
II — Soit n ∈N .

1. Pour : 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 5^n par 13.

2. a —Montrer par récurrence sur n, que 5^{4n} -1 est divisible par 13
   b—En déduire que : $5^{4n+1}-5$, $5^{4n+2}-12$et $5^{4n+3}-8$ sont divisibles par 13.
   c— Déterminer alors le reste de la division par 13 du nombre $5^{2011}$
   3). Le nombre p étant un entier naturel on considère le nombre A, défini par $a(p)=5^{2p}+5^{4p}$
   a—Si p = 2n, quel est le reste de la division de A, par 13.
   b- Démontrer que, si p = 2n+1, A est divisible par 13.

3. On considère la Suite (U_n)n=2, définie par : $u_n=1+5+5^2+5^3+...+5n-1$
   a—Montrer que $u_n=\frac{5^n-1}{4}$
   b— Montrer que si U est divisible par 13 alors $5^n-1$ est divisible par 13.
   c-Réciproquement, montrer que si $5^n-1$ est divisible par 13, alors U, est divisible par 13 Indication : $13u_n-3\ast (4u_n)=u_n$
   d— En déduire les valeurs de n telles que U_n, soit divisible par 13.

voilà mes réponses:
pour la question I : a=10a' et b=10b' on obtient a'b'=126 avec a' et b' sont premiers entre eux
126=23^{2}7
126=263=187=149 d'ou les couples (a',b') sont {(2,63),(63,2)(18,7)(7,18)(14,9)(9,14)} puis on multiple par 10 pour obtenir les couples (a,b)

ESt ce que ce n'est pas juste? sinon est ce qu'il y a une autre méthode plus simple et clair

pour la question I : a=10a' et b=10b' on obtient a'b'=126 avec a' et b' sont premiers entre eux
126=23^{2}7
126=263=187=149 d'ou les couples (a',b') sont {(2,63),(63,2)(18,7)(7,18)(14,9)(9,14)} puis on multiple par 10 pour obtenir les couples (a,b)

ESt ce que ce n'est pas juste? sinon est ce qu'il y a une autre méthode plus simple et clair

II-

1. n=1.....5^1....r=13
   n=2.....25.....r=12
   n=3.....125....r=8
   n=4.....625....r=1
   n=5.....3125...r=5
   n=6.....15625..r=5

2)-a- la propriété est vrai pour n=0 suppose que p_n est vrai mtr que p_{n+1} est vrai
$4^{4n+4}-1=652<em>5^{4n}-1=624</em>5^{4n}+5^{4n}-1$ ........ est divisble par 13

-b- $5^{4n+1}-5=5\ast (5^{4n}-1)$divisble par 13 , $5^{4n+2}-12=25(5^{4n}-1)+13$divisble pa 13 et $5^{4n+3}-8=125(5^{4n}-1)+117$ est divible par 13

-c- $5^{2011}=5^{4\ast 502+3}$ donc le rste est 8 d'aprés la question précedent
3) -a-
$a_{2}n=...=5^4(1+5^{4n})$ divisible par 13 donc le reste : r=0
-b- $a_{2n+1}=...=5^4(5^{4n}+5^{8n})$ divible par 13 d'aprés la question précednet ...

4. -a- j'ai montré l'égalité c'est un somme de suite géometrique

-b- on a : $4\ast u_n=5^n-1$ j'ai voulu mtr que 4 et 5^n-1 sont premiers entre eux de suite utilisier la lemme de Gauss
mais il semble que 5^n -1 est divible par 13 ..... j'ai besoin d'aide avec cette question

-c- on a $4<em>u_n=5^n-1$
donc 13U_n -3(4U_n)=U_n ⇔ 13U_n -3*(5^n-1)=U_n ⇔....⇔ alors u_n est divisble par 13
-d- u_n est divisible par 13 4*u_n est divisible par 13 donc 5^n-1 est divisible par 13 je panse à la théorème de Fermat mais je n'arrive pas

[mtschoon]

Bonsoir,

J'ai déplacé ton topic dans la rubrique TS car ces questions d'arithmétique font partie du programme de TS spécialité Maths.
Je suppose que tu es scolarisé à l'étranger et que les niveaux sont différents des niveaux français.

Quelques pistes rapides,

I) oui, mais il semble manquer 2 cas : (a',b')=(1,126) et (a',b')=(126,1) car
1 x 126=126 x 1=126 et PGCD(1,126)=PGCD(126,1)=1

II b)Tu peux faire simple

Si $U_n$ est divisible par 13, tu peux écrire $U_n$=13K, avec K entier, c'est à dire
$\frac{5^n-1}{4}=13k$

donc $5^n-1=4\times 13k$ , d'où la réponse

II)d) Oui pour $5^n-1$ divisible par 13

Le théorème ne Fermat n'est pas adapté (même s'il y a des ressemblances)

Tu trouveras la solution en utilisant les résultats démontrés au 2)a) et au 2)b)

Le 2)a), en changeant les notations, te permet d'affirmer que pour n multiple de 4 (n=4k avec k entier), $5^n-1$ est divisible par 13

Reste à étudier les 3 autres cas : n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3

En utilisant les résultats du 2)b), tu dois pouvoir justifier facilement que dans ces cas, $5^n-1$ n'est pas divisible par 13

Bon travail !

[erico55]

Merci vos réoponses sont claires et parfaits

[mtschoon]

De rien erico55 et bon devoir !