Arithmétique PPCM Divisibilité



  • bonjour
    j'ai besoin d'aide avec la premier question I et II- 4)-b-d-

    voilà l'énoncé

    I— Résoudre dans NN, le système S
    a
    b= 12600
    ppcm(a,b) = 1260
    II — Soit n ∈N .

    1. Pour : 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 5^n par 13.

    2. a —Montrer par récurrence sur n, que 5^{4n} -1 est divisible par 13
      b—En déduire que : 54n+155^{4n+1}-5, 54n+2125^{4n+2}-12et 54n+385^{4n+3}-8 sont divisibles par 13.
      c— Déterminer alors le reste de la division par 13 du nombre 520115^{2011}
      3). Le nombre p étant un entier naturel on considère le nombre A, défini par a(p)=52p+54pa(p) = 5^{2 p}+5 ^{4p}
      a—Si p = 2n, quel est le reste de la division de A, par 13.
      b- Démontrer que, si p = 2n+1, A est divisible par 13.

    3. On considère la Suite (U_n)n=2, définie par : un=1+5+52+53+...+5n1u_n=1+5+5^{2}+5^{3}+...+5{n-1}
      a—Montrer que un=5n14u_n =\frac{5^{n}-1}{4}
      b— Montrer que si U est divisible par 13 alors 5n15^{n} - 1 est divisible par 13.
      c-Réciproquement, montrer que si 5n15^{n} - 1 est divisible par 13, alors U, est divisible par 13 Indication : 13un3(4un)=un13u_n-3*(4u_n)=u_n
      d— En déduire les valeurs de n telles que U_n, soit divisible par 13.

    voilà mes réponses:
    pour la question I : a=10a' et b=10b' on obtient a'b'=126 avec a' et b' sont premiers entre eux
    126=2
    3^{2}7
    126=2
    63=187=149 d'ou les couples (a',b') sont {(2,63),(63,2)(18,7)(7,18)(14,9)(9,14)} puis on multiple par 10 pour obtenir les couples (a,b)

    ESt ce que ce n'est pas juste? sinon est ce qu'il y a une autre méthode plus simple et clair

    pour la question I : a=10a' et b=10b' on obtient a'b'=126 avec a' et b' sont premiers entre eux
    126=2
    3^{2}7
    126=2
    63=187=149 d'ou les couples (a',b') sont {(2,63),(63,2)(18,7)(7,18)(14,9)(9,14)} puis on multiple par 10 pour obtenir les couples (a,b)

    ESt ce que ce n'est pas juste? sinon est ce qu'il y a une autre méthode plus simple et clair

    II-

    1. n=1.....5^1....r=13
      n=2.....25.....r=12
      n=3.....125....r=8
      n=4.....625....r=1
      n=5.....3125...r=5
      n=6.....15625..r=5

    2)-a- la propriété est vrai pour n=0 suppose que p_n est vrai mtr que p_{n+1} est vrai
    44n+41=652<em>54n1=624</em>54n+54n14^{4n+4}-1=652<em>5^{4n}-1=624</em>5^{4n}+5^{4n}-1 ........ est divisble par 13

    -b- 54n+15=5(54n1)5^{4n+1} - 5=5*(5^{4n}-1)divisble par 13 , 54n+212=25(54n1)+135^{4n+2} - 12=25(5^{4n}-1)+13divisble pa 13 et 54n+38=125(54n1)+1175^{4n+3} - 8=125(5^{4n}-1)+117 est divible par 13

    -c- 52011=54502+35^{2011}=5^{4*502+3} donc le rste est 8 d'aprés la question précedent

    1. -a-
      a2n=...=54(1+54n)a_2n=...=5^{4}(1+5^{4n}) divisible par 13 donc le reste : r=0
      -b- a2n+1=...=54(54n+58n)a_{2n+1}=...=5^4(5^{4n}+5^{8n}) divible par 13 d'aprés la question précednet ...

    2. -a- j'ai montré l'égalité c'est un somme de suite géometrique

    -b- on a : 4un=5n14*u_n = 5^n-1 j'ai voulu mtr que 4 et 5^n-1 sont premiers entre eux de suite utilisier la lemme de Gauss
    mais il semble que 5^n -1 est divible par 13 ..... j'ai besoin d'aide avec cette question

    -c- on a 4<em>un=5n14<em>u_n = 5^n-1
    donc 13U_n -3(4U_n)=U_n ⇔ 13U_n -3*(5^n-1)=U_n ⇔....⇔ alors u_n est divisble par 13
    -d- u_n est divisible par 13 4*u_n est divisible par 13 donc 5^n-1 est divisible par 13 je panse à la théorème de Fermat mais je n'arrive pas


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    J'ai déplacé ton topic dans la rubrique TS car ces questions d'arithmétique font partie du programme de TS spécialité Maths.
    Je suppose que tu es scolarisé à l'étranger et que les niveaux sont différents des niveaux français.

    Quelques pistes rapides,

    I) oui, mais il semble manquer 2 cas : (a',b')=(1,126) et (a',b')=(126,1) car
    1 x 126=126 x 1=126 et PGCD(1,126)=PGCD(126,1)=1

    II b)Tu peux faire simple

    Si UnU_n est divisible par 13, tu peux écrire UnU_n=13K, avec K entier, c'est à dire
    5n14=13k\frac{5^n-1}{4}=13k

    donc 5n1=4×13k5^n-1=4\times 13k , d'où la réponse

    II)d) Oui pour 5n15^n-1 divisible par 13

    Le théorème ne Fermat n'est pas adapté (même s'il y a des ressemblances)

    Tu trouveras la solution en utilisant les résultats démontrés au 2)a) et au 2)b)

    Le 2)a), en changeant les notations, te permet d'affirmer que pour n multiple de 4 (n=4k avec k entier), 5n15^n-1 est divisible par 13

    Reste à étudier les 3 autres cas : n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3

    En utilisant les résultats du 2)b), tu dois pouvoir justifier facilement que dans ces cas, 5n15^n-1 n'est pas divisible par 13

    Bon travail !



  • Merci vos réoponses sont claires et parfaits


  • Modérateurs

    De rien erico55 et bon devoir !


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