Loi Normale (durée de vie d'une lampe)



  • Bonjour ,
    La durée de vie d'un certain type de lampe est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance μ\muμ et d'écart type σ\sigmaσ inconnus. Les spécifications impliquent que 80 % de la production ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5 % de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours.
    Quelles sont les valeurs de μ\muμ et d'écart type σ\sigmaσ ?

    je sais que P(120≤x≤200)= 0.8 et que P(X≤120)= 0.05

    Donc P(120≤X≤200) = 0.8 ⇔ P(X≤120)-P(X≤200)= 0.8 ⇔ 0.05 - P(X≤200) = 0.8 ⇔ -P(X≤200) = 0.75

    Je suppose qu'ensuite il faut centrer et réduire :

    • P(X- μ\muμ)≤200- μ\muμ) = 0.75 ⇔ -P(x−μσ\frac{x-\mu }{\sigma }σxμ200−μσ\frac{200-\mu }{\sigma }σ200μ)
      = 0.75

    Pouvez vous me faire savoir si c'est le bon chemin à prendre svp ? car je doute fort ...


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Piste,

    Il faut que tu arrives à un système de deux équations à deux inconnues m et σ

    Effectivement, pour pouvoir utiliser la table usuelle il faut que tu traduises l'énoncé en utilisant la loi réduite centrée associée.

    J'appelle Φ la fonction de répartition de Z, avec z=x−mσz=\frac{x-m}{\sigma}z=σxm

    1ere condition

    $\text{p(\frac{120-m}{\sigma} \le z \le \frac{200-m}{\sigma})=0.8$

    $\text{\phi( \frac{200-m}{\sigma})-\phi(\frac{120-m}{\sigma})=0.8$ (*)

    2eme condition

    $\text{p(z \le \frac{120-m}{\sigma}) =0.05$

    $\text{\fbox{\phi( \frac{120-m}{\sigma})=0.05}$ (**)

    En substituant dans ()
    $\text{\fbox{\phi( \frac{200-m}{\sigma})=0.85}$(
    **)

    En utilisant la table, tu peux déduire, par lecture, les valeurs approchées de 120−mσ\frac{120-m}{\sigma}σ120m et de 200−mσ\frac{200-m}{\sigma}σ200m.
    Il te reste ensuite à résoudre le système.

    Remarque 0.05 n'est pas dans la table, alors tu utilises 0.05=1-0.95 (et 0.95 est dans la table)

    Evidemment, tu n'auras que des valeurs approchées.
    Si tu veux avoir des valeurs plus précises, il faut faire des approximations linéaires entre deux valeurs de la table, mais ça complique...



  • Quand vous dîtes "table" c 'est par calculatrice et je dois utiliser la touche FracNormal c'est ça ?


  • Modérateurs

    Je parlais de la Table de la loi Normale :
    Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N(0,1)
    Je pensais que tu avais un tableau imprimé sur ton manuel (appelé "Table") . mais visiblement ce n'est pas le cas...

    Ta calculette doit certainement convenir.
    Si la touche "FracNormale" correspond à l'inverse de la loi normale, c'est bon.



  • Donc je trouve :

    120−μσ\frac{120-\mu }{\sigma }σ120μ ≈ -1,64 et 200−μσ\frac{200-\mu }{\sigma }σ200μ ≈ 1,03

    en faisant un système d'équation :

    μ\muμ ≈ 169 et σ\sigmaσ≈ 30

    Ainsi X suit la loi N(169;30²)


  • Modérateurs

    C'est bon !



  • merci 🙂


  • Modérateurs

    De rien et bon travail !


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