Démontrer qu'une suite somme est convergente et déterminer sa limite
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Ssophie90 dernière édition par Hind
Bonjour,
je travaille sur les calculs de somme , dans cet exercice de niveau universitaire ,il faut montrer que la suite ${ \left( { u }{ n } \right) }{ n\quad \ge 1$ définie par un=∑k=1nnn2+k{ u }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { \frac { n }{ { n }^{ 2 }+k } } }un=∑k=1nn2+kn est convergente et déterminer sa limite. J 'ai cherché a encadrer en (minorant ,majorant) cette somme .De cette manière sa converge .Est ce juste ?
Je vous remercie,par avance.
On a:n≥k≥1n\ge k\ge 1n≥k≥1 , les termes sont tous positifs,alors n+n2≥k+n2≥1+n2n+{ n }^{ 2 }\ge k+{ n }^{ 2 }\ge 1+{ n }^{ 2 }n+n2≥k+n2≥1+n2
ainsi,1n+n2≤1k+n2≤11+n2\frac { 1 }{ n+{ n }^{ 2 } } \le \frac { 1 }{ k+{ n }^{ 2 } } \le \frac { 1 }{ 1+{ n }^{ 2 } }n+n21≤k+n21≤1+n21
il vient,nn+n2≤nk+n2≤n1+n2\frac { n }{ n+{ n }^{ 2 } } \le \frac { n }{ k+{ n }^{ 2 } } \le \frac { n }{ 1+{ n }^{ 2 } }n+n2n≤k+n2n≤1+n2n
donc,$\sum { k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ 1+{ n } } } \le { u }{ n }\le \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { n }{ 1+{ n }^{ 2 } } } \$
donc,(n−1+1)11+n≤un≤(n−1+1)n1+n2\left( n-1+1 \right) \frac { 1 }{ 1+n } \le { u }_{ n }\le \left( n-1+1 \right) \frac { n }{ 1+{ n }^{ 2 } }(n−1+1)1+n1≤un≤(n−1+1)1+n2n
comme,limn→∞n1+n=lim<em>n→∞n21+n2=1\lim _{ n\rightarrow \infty } \frac { n }{ 1+n } =\lim <em>{ n\rightarrow \infty } \frac { { n }^{ 2 } }{ 1+{ n }^{ 2 } } =1limn→∞1+nn=lim<em>n→∞1+n2n2=1 d'après le théorème des gendarmes la suite u</em>n{ u }</em>{ n }u</em>n converge vers 1
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
C'est bon !
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Ssophie90 dernière édition par
merci, mtschoon
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mtschoon dernière édition par
De rien !
Bon travail, Sophie.