Aide pour Equation ..

[Mary]

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour cette équation :
cos²($pi$/8) + cos²(3$pi$/8) + cos²(5$pi$/8) + cos² (7$pi$/8) = 2
Merci

[Zauctore]

Salut Mary.
Ce n'est pas une équation.
Reformule ton problème.

[Mary]

C'est une équation trigonométrique...

[Zauctore]

Amusant : je t'assure que ce n'est pas une équation.
Ecris-nous ton énoncé clairement.

[Mary]

C'est seulement indiqué : montrer que

[Mary]

En fait il faut arriver au bout des calculs à 2

[Zauctore]

C'est bien ce que je voulais te faire dire : il s'agit de montrer que le membre de gauche (avec la somme des carrés de cos) est égale au membre de droite (2). il n'y a pas d'inconnue dont on cherche la valeur ici : ce n'est pas une équation.

Bon as-tu fait quelques tentatives ? lesquelles ?

[Mary]

J'ai essayé mais je n'y arrive pas ... :frowning2:

[Zauctore]

Que vaut cos (x + $pi$/2) ?

[Mary]

• sinx

[Zauctore]

Bien ; donc cos(5$pi$/8) = ?

[Mary]

-pi/8

[Zauctore]

Mary :

cos(5$pi$/8) = cos($pi$/8 + 4$pi$/8)
= cos($pi$/8 + $pi$/2)
= - sin($pi$/8)

donc (cos(5$pi$/8))^2 = (sin($pi$/8))^2

(le signe "-" n'a pas d'importance vi-à-vis du carré)

et... ensuite ?

[Mary]

Moi j'avais pensé changer l'ordre :
cos² pi/8 + cos² 7 pi/8 + cos ²3 pi/8 + cos ² 5 pi/8 = 2

on a cos² pi/8 + cos² 7 pi/8 = cos² pi
de même pr la 2e à votre avis c'est bon? ..

[Zauctore]

Mary

on a cos² pi/8 + cos² 7 pi/8 = cos² pi

Quelle horreur, non !

on a vu avant que cos² (5$pi$/8) = sin² $pi$/8

donc cos² ($pi$/8) + cos ² (5$pi$/8) = ... tu vois combien ?

[Mary]

On a pas le droit d'ajouter ??

[Zauctore]

Non : cos 0 = 1 et cos 0 + cos 0 = 2 diff/ cos(0 + 0).

On ne peut pas ajouter - on dit que le cosinus n'est pas linéaire ; tu penses bien que si on pouvait, tout ça aurait été fait au collège !

[Mary]

On a donc sin² pi/8 + sin² pi/8

[Zauctore]

Non : je reprends.

Tu as compris cos² (5$pi$/8) = sin² ($pi$/8)

donc cos² ($pi$/8) + cos ² (5$pi$/8) = cos² ($pi$/8) + sin² ($pi$/8) = ...

[Mary]

cos²x + sin²x = 1

[Zauctore]

Bien.

Donc avec ta somme initiale, tu arrive à

cos² ($pi$/8) + cos² (3$pi$/8) + cos² (5$pi$/8) + cos² (7$pi$/8)

= 1 + cos² (3$pi$/8) + cos² (7$pi$/8).

tu vois ce qu'il reste à faire ?

[Mary]

je dois faire la même chose pour les autres..

[Zauctore]

en effet.

un coup de pouce : 7$pi$/8 = (3 + 4)$pi$/8, n'est-ce pas...

[Mary]

4$pi$ /8 - $pi$/8 = 3$pi$/8
dc $pi$/2 - $pi$/8 = sin $pi$/8

Et cos² (7$pi$/8) + sin²$pi$/8 = 1
Dc 1+ 1 = 2 C'est ça ??

[Zauctore]

tu n'as pas tout suivi ; il faudra que tu reprennes nos calculs attentivement.

je termine (car je dois partir) :

cos (7$pi$/8) = - sin (3$pi$/8)

cos² (3$pi$/8) + cos² (7$pi$/8) = cos² (3$pi$/8) + (- sin (3$pi$/8))²
= cos² (3$pi$/8) + sin² (3$pi$/8)
= 1

d'où la conclusion.

@+

[Mary]

Mille merci !!
A bientôt !