Forme exponentielle des nombres complexes



  • Bonjour ,

    Soient x un réel et n un entier naturel non nul.
    L'objectif de cet exercice est de calculer les sommes :
    S= 1+ cos(x) +cos(2x) + ... + cos(nx) et T= sin(x) + sin(2x) + ... sin(nx)

    1. Montrer que S+iT = 1+ e^ix + ...+e^inx

    D'après le cours on sait que e^x= cos(x) + sin(x) mais je ne sais pas comment m'y prendre ... j'aurais dit qu'en additionnant les termes de S et iT on obtient cela mais je ne suis pas sûre si c'est comme ça...

    1. S+iT = 1ei(n+1)x1eix\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}
      La formule pour la somme d'une suite géométrique est 1qn+11q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
      Dans ce cas , q= e^ix mais avant de dire cela je dois le démontrer j'imagine ...

    2. a- Exprimer eix2^{\frac{ix}{2}}eix2-e\frac{ix}{2} en fonction de sin(x/2)
      b- en déduire que 1-e^ix= -2iei(n+1)x^{i(n+1)x} = -2iei(n+1)x2sin((n+1)x2^{\frac{i(n+1)x}{2}}sin(\frac{(n+1)x}{2}

    3. En utilisant les résultats précédents écrire S+iT de facon à isoler simplement sa partie réelle et sa partie imaginaire puis en déduire les sommes demandées.

    Cet exercice me pose vraiment difficultés surtout quand il s'agit de fonction cos et sin ...
    Est ce que vous pouvez m'apporter de l'explication pour m'éclaircir et votre aide svp ?


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Quelques pistes,

    1. ton idée me semble bonne

    s+it=[1+cosx+...+cos(nx)]+i[sinx+sin(nx)]s+it=[1+cosx+...+cos(nx)]+i[sinx+sin(nx)]

    s+it=1+(cosx+isinx)+...(cos(nx)+isin(nx))s+it=1+(cosx+isinx)+...(cos(nx)+isin(nx))

    s+it=1+eix+...+enixs+it=1+e^{ix}+...+e^{nix}

    1. S+iT est la somme des (n+1) premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q=eixq=e^{ix}

    En appliquant le formule de la somme, tu obtiens la formule souhaitée. (pour q ≠ 1, c'est à dire x ≠ 0)

    1. Il doit manquer un "-" en exposant dans la formule que tu as écrite.

    eix2=cosx2+isinx2e^{i\frac{x}{2}}=\cos\frac{x}{2}+i\sin\frac{x}{2}

    eix2=cosx2+isinx2=cosx2isinx2e^{i\frac{-x}{2}}=\cos\frac{-x}{2}+i\sin\frac{-x}{2}=\cos\frac{x}{2}-i\sin\frac{x}{2}

    En retranchant membre ) membre tu dois obtenir :

    eix2eix2=2isinx2e^{i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{-x}{2}}=2i\sin\frac{x}{2}

    Pour la 3)b), revois avec soin la formule Latex que tu as écrite et modifie la si besoin car j'ai de la peine à la déchiffrer...



  • d'accord merci pour la question 1 : )

    Ah oui effectivement il manquait un signe "-" pour la q3

    1. S+iT= 1ei(n+1)x1eix\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}

    2. a- eix2^{\frac{-ix}{2}}= cos(x2\frac{-x}{2}) + isin(x2\frac{-x}{2})
      = cos(x2\frac{x}{2})-sin(x2\frac{x}{2})

    -eix2\frac{ix}{2}= -(cos(x2\frac{x}{2})+isin(x2\frac{x}{2}))= -cos(x2\frac{x}{2})-isin(x2\frac{x}{2})

    Donc : eix2^{\frac{-ix}{2}}-eix2^{\frac{ix}{2}} = cos(x/2)-isin(/2)-cos(x/2)- isin(x/2) = -2isin(x/2)
    je trouve un - devant ...

    3b- En déduire que 1-e^ix= 2ieix2sin(x2)-2ie^{\frac{ix}{2}}sin(\frac{x}{2})
    Désolé j'ai mélangé la b et la c ...

    3c - Montrer de même que : 1-ei(n+1)x=2ei(n+1)x2sin((n+1)x2^{i(n+1)x}=-2e^{\frac{i(n+1)x}{2}}sin(\frac{(n+1)x}{2}


  • Modérateurs

    Pour le 3)a), c'est bien ça

    Ignorant où été le "-" vu que tu ne l'avais pas écrit, je t'ai répondu

    eix2eix2=2isinx2e^{i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{-x}{2}}=2i\sin\frac{x}{2}.

    d'où

    $\fbox{e^{i\frac{-x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}}=-2i\sin\frac{x}{2}$.

    Pour le 3)b) (nouvelle version) :

    multiplie chaque membre de la formule encadrée qui vient d'être écrite par eix2e^{i\frac{x}{2}}

    Pour le 3)c)(nouvelle version), je suppose que tu as voulu écrire

    1ei(n+1)x=2ei(n+1)x2sin((n+1)x21-e^{i(n+1)x}=-2e^{\frac{i(n+1)x}{2}}sin(\frac{(n+1)x}{2}

    Tu reprends la démarche précédent en remplaçant x par (n+1)x



  • Bonjour,
    d'accord merci 🙂
    Alors j'ai réussi pour b- et le c-
    Concernant la question 4 :

    S+iT= 1ei(n+1)x1eix\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}
    Bon ensuite concernant l'éditeur Latex j ai eu du mal pour entrer la suite
    Mais j'ai remplacé avec les résultats précédents et j'ai annulé les -2 au numérateur et au dénominateur
    Par contre je ne comprends pas vraiment la question 4 ... "de façon à isoler simplement sa partie sa imaginaire et sa partie réelle puis en déduire les sommes demandées"


  • Modérateurs

    Oui, il faut simplifier -2 mais pas seulement.

    Il faut simplifier aussi par i

    Il faut continuer le calcul avec les exponentielles pour simplifier.

    Toutes les simplifications étant faites, tu dois obtenir

    s+it=einx2.sin(n+1)x2sinx2s+it=e^{\frac{inx}{2}}.\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}

    Ensuite, tu remplaceseinx2e^{\frac{inx}{2}} par cosnx2+isinnx2\cos \frac{nx}{2}+i\sin\frac{nx}{2}

    Tu peux ainsi trouver la partie réelle et la partie imaginaire de S+iT , d'où les expressions de S et T (ce qui est le but de l'exercice)



  • Ainsi je trouve que S+iT= (cos(nx/2)*sin((n+1)x)/2)/(sin(x/2) + (isin(nx/2)*sin(((n+1)x)/2)/sin(x/2)

    est-ce bon ?


  • Modérateurs

    Oui , c'est bon.

    Et tu peux conclure

    s=cosnx2.sin(n+1)x2sinx2s=\cos\frac{nx}{2}.\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}

    t=sinnx2.sin(n+1)x2sinx2t=\sin\frac{nx}{2}.\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}



  • Mercii beaucoup 🙂
    Franchement sans votre aide je serais perdue!


  • Modérateurs

    C'est normal ; on est content d'aider. 😄

    J'espère que tu réalises l'efficacité des nombres complexes.
    S et T sont deux sommes de nombres réels, pas simples.
    Par l'intermédiaire du complexe S+iT, on peut trouver les expressions simplifiées de ces deux sommes de nombres réels.
    Quelque part, c'est génial !

    Bon travail !



  • Oui bien sûr ; )
    C'est pour ça que je montre un intérêt à cette matière : )
    Et merci !


  • Modérateurs

    De rien !

    A+


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