intégration pour calculer la longueur d'un arc de courbe

bonsoir

Je m'interroge sur le lien qu'il peut y avoir entre la longueur d'une courbe et le calcul intégral.?Cette notion de longueur est abordé ,dans un exercice plutôt original supposé difficile.

merci, par avance.

Bonsoir,

Je pense que tu parles de la courbe d'équation y=f(x) continue sur [a,b] et que tu cherches la longueur de l'arc de courbe AB avec A(a,f(a)) et B(b,f(b))

Cette longueur vaut $\bigint_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

Je te mets un lien pour le calcul (basé sur le théorème de Pythagore) .
Regarde le cas "coordonnées cartésiennes"
Il y a la démonstration et un exemple d'application.

http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch08/co/apprendre_ch08_14.html

Une remarque

Si tu veux t'entraîner en faisant le calcul de le longueur relative à la chaînette, tu n'as pas besoin d'utiliser les formules relatives aux sinus et cosinus hyperboliques (car en Terminale, on ne les connait pas).

Prends les expressions exponentielles

$f(x)=ex+e−x2f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$f′(x)=ex−e−x2f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

Soit l la longueur cherchée (entre x=0 et x=1)

$l=\bigint_0^1 \sqrt{1+(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2}dx$

Après développements et transformations, tu dois trouver

$l=\frac{1}{2}\bigint_0^1 \sqrt{(e^x+e^{-x})^2}dx$

$l=\frac{1}{2}\bigint_0^1 (e^x+e^{-x})dx$

$l=12[(ex−e−x]01l=\frac{1}{2}[(e^x-e^{-x}]_0^1$

D'où

$l=12(e+e−1)l=\frac{1}{2}(e+e^{-1})$

Bon calcul.

merci mtschoon

oui effectivement ,je tombe bien sur cet expression c'est d'ailleurs un bon entrainement .

à première vue,le problème à l'air est plus difficile .

Je vous le transmettrai en fin de jrnée

En attendant, bonne fin de jrnée.

bon dimanche à vous

D'accord pour la suite...

Bonsoir

l'exercice est le suivant: original

Un câble électrique est suspendu sur deux pylônes de même hauteur et distants de de $d$ en dam.Un aigle atterrit sur ce fil à 20 mètre du pylône gauche et aperçois un faucon coincé à l’extrémité Est de ce câble. La forme géométrique du câble est une tresse hélicoïdale On admet qu’elle a pour
équation :

$f(x)=ln⁡(1+exex−1)f\left( x \right) =\ln { \left( \frac { 1+{ e }^{ x } }{ e^{ x }-1 } \right) }$ et $x∈[1,10]x\in [1,10]$

-Trouver la longueur du chemin $l$ à parcourir par l’aigle pour capturer le faucon.

soit

$f\left( x \right) =\ln { \left( \frac { 1+{ e }^{ x } }{ e^{ x }-1 } \right) } \$

ainsi,

$f'\left( x \right) =\frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }+1 } -\frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }-1 } =e^{ x }\frac { \left( e^{ x }-1-\left( e^{ x }+1 \right) \right) }{ { e }^{ 2x }-1 } \$

après simplification,

$\sqrt { 1+f'\left( x \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 1+\left( \frac { -2{ e }^{ x } }{ { e }^{ 2x }-1 } \right) ^{ 2 } } =\left| \frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } \right| \$

sur $[1, 10]$ la quantité $\frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } >0$

$\frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } =1+\frac { 2 }{ { e }^{ 2x }-1 } =1+\frac { 1 }{ { e }^{ x }-1 } -\frac { 1 }{ { e }^{ x }+1 } \$

car la solution est evidente $\ \quad \quad a\left( { e }^{ x }+1 \right) +a'\left( { e }^{ x }-1 \right) =2\ \ \ \ \ \ a'=-1\quad a=1\$

de même

$\ \ \quad \ \frac { 1 }{ { e }^{ x }-1 } -\frac { 1 }{ { e }^{ x }+1 } =\frac { 1 }{ { e }^{ x } }( \left( \frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ { e }^{ x } } } \right) \quad -\left( \frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ { e }^{ x } } } \right) )\ \$

après simplification

$\int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ 2x }-1 } } d\left( x \right) =x+\int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ -x } }{ 1-{ e }^{ -x } } } +\int _{ 2 }^{ 10 }{ \frac { { e }^{ -x } }{ 1+{ e }^{ -x } } } \$

$\ \ \left[ x+\ln { \left( \left| 1-{ e }^{ -x } \right| \right) } +\ln { \left( \left| 1+{ e }^{ -x } \right| \right) } \right] \begin{matrix} 10 \ 2 \end{matrix}\quad \$

$2\ \ \left[ x+\ln { \left( \left| 1-{ e }^{ -2x } \right| \right) } \right] \begin{matrix} 10 \ 2 \end{matrix}$

$l = 8.01$ dam arrondi,

bonne soirée,

C'est bon.

Ma calculatrice me renvoit 8,01849 , donc 8.01 est valeur approchée par défaut.

merci,

bonne journée

De rien !

Bonne semaine.