Resolution d'un triangle

Voilà je bloque sur cet exercice.
Quelqu'un pourrait m'aider svp.
Merci d'avance

Une masse m est suspendue à l'extrémité de deux fils inextensibles AC et BC . Le fil AC
est relié au point fixe A . Le fil BC passe sur la poulie B et supporte une masse M . La
distance horizontale entre A et B est l et la distance verticale entre A et B est h.

La position du point C est définie par l'angle alpha entre CB et l'horizontale. On appelle Tca la tension du fil AC et beta l'angle entre CA et l'horizontale.

Question: Exprimer les longueurs AC et BC en fonction de l , h , alpha et beta .

Bonjour,

Piste,

Pour évaluer facilement les sinus et cosinus de α et β, je te conseille de projeter orthogonalement les points A et B sur la droite en pointillés passant par C (tu obtiens ainsi deux triangles rectangles).

Soit H le projeté de A et H' le projeté de B

Je pose x=BC et y=AC

CH+ CH'=l <=> $ycosβ+xcosα=lycos\beta+ xcos\alpha=l$

AH-BH'=h <=> $ysinβ−xsinα=hysin\beta-xsin\alpha=h$

Tu obtiens ainsi un système de deux équations à deux inconnues x et y à résoudre.

Donc je trouve la valeur de x dans la première équation et je remplace cette valeurs dans le deuxième pour trouver y?

Mais comment aboutir au longueur AC et BC?

Dois-je utiliser des chiffres?

Je suis vraiment désolé, mais pour être honnête je ne comprends rien, le faite de ne pas avoir des chiffres me perturbe.

Merci d'avance

J'ignore ton niveau vu que tu postes dans "autres classes"...

Notations utilisées : x=BC et y=AC

J'espère que tu as fait la démarche qui arrive aux équations indiquées, sinon commence à revoir cela pour comprendre l'écriture du système.

Je te conseille de résoudre ce système par combinaison linéaire.

Pour trouver x :

Tu multipliplies les 2 membres de la première équation par sinβ
Tu multipliplies les 2 membres de la seconde équation par cosβ

Ensuite, tu retranches membre à membre ces deux nouvelles équations.

Tu simplifies cette dernière équation trouvée qui te permettra d'avoir la valeur de x

Tu procèdes avec la même logique pour trouver y

Bonjour,

Mon niveau est tres faible, coome vous pouvez le constater.

Donc sinβ(ycosβ+xcosα)=SinβL
Puis j'isole le x a gauche?

Merci de votre patience en tous cas.

J'explicite ce que je t'ai indiqué pour trouver x (c'est à dire BC)

$ycos⁡βsin⁡β+xcos⁡αsin⁡β=lsin⁡βy\cos\beta\sin\beta+ x\cos\alpha\sin\beta=l\sin\beta$

$ysin⁡βcos⁡β−xsin⁡αcos⁡β=hcos⁡βy\sin\beta\cos\beta-x\sin\alpha\cos\beta=h\cos\beta$

En retranchant membre à membre , il reste

$x(cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β)=lsin⁡β−hcos⁡βx(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)=l\sin\beta-h\cos\beta$

D'où

$x=lsin⁡β−hcos⁡βcos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡βx=\frac{l\sin\beta-h\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}$

Remarque : le dénominateur se réduit en utilisant une formule d'addition.

Essaie de trouver y (c'est à dire CA)

Bonjour,

Pour y :

y=l sinβ - h cos β / cosβsinβ+sinβcosβ ??

Il semble qu'il y a une erreur

Tu devrais trouver

$y=lsin⁡α+hcos⁡αcos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡βy=\frac{l\sin\alpha+h\cos\alpha}{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}$

Comme déjà indiqué, le dénominateur se réduit avec une formule d'addition.
Si tu connais la trigonométrie de 1S, le dénominataur de x et de y vaut $sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta)$

Merci,

Dois-je encore développé?

Tu ne peux rien faire de plus.

$x=lsin⁡β−hcos⁡βsin⁡(α+β)x=\frac{l\sin\beta-h\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

$y=lsin⁡α+hcos⁡αsin⁡(α+β)y=\frac{l\sin\alpha+h\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$

Merci

De rien ! je te conseille de revoir tout ça de près.