nombres complexes-orthocentre

[Anabelle2110]

Bonsoir ,

Dans le plan complexe, on donne trois points non alignés A(a),B(b) et C(c) tels que $\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|$.
Que représente le point H d'affixe a+b+c pour le triangle ABC ?

Tout d'abord je me suis aidée du logiciel Géogebra pour représenter la figure à l'exception du point H.
Je me suis dit que le point H pouvait être soit un centre de cercle circonscrit , de cercle inscrit , un centre de gravité ou soit un orthocentre.

À l'aide de la figure sur geogebra j'ai constaté que OA=OB=OC donc O est le centre du cercle circonscrit à ABC . Cela reviendrait à dire que OA²=OB²=OC² ⇔$\left|zoa\right|$²=$\left|a\right|$²=$a\bar{a}$
De même pour OB² =$b\bar{b}$ et OC²=$c\bar{c}$
Ainsi on obtient $a\bar{a}=b\bar{b}=c\bar{c}$
Après je ne sais pas quoi faire de cela ...

Ensuite j'ai voulu étudier le point H par rapport à A ,B et C en calculant z(AH),z(BH) et z(CH)

Je suis un peu perdue dans mes recherches , pouvez me dire si je suis sur la bonne piste ?

[mtschoon]

Bonjour,

Elle est bizarre ta question,posée de façon isolée...

Oui, O est centre du cercle circonscrit au triangle ABC, vu que OA=OB=OC

H est l'orthocentre de ce triangle ABC mais pour le démontrer sans enchaînement logique indiqué, ce n'est pas évident !

Cela est l'exercice 2 du Bac S de juin 2007 à Alger (enseignement obligatoire) mais il y a plusieurs questions intermédiaires qui permettent de faire la démonstration.
Je suis surprise que ton énoncé ne te donne pas toutes ces questions intermédiaires...? ? ?

Idée :

$(\vec{cb},\vec{ah})=arg(\frac{z_h-z_a}{z_b-z_c})=arg({\frac{b+c}{b-c})$

Il faut ensuite justifier que$\frac{b+c}{b-c}$ est imaginaire pur donc que son argument vaut ∏/2 [∏]

Donc $(ah)\perp (bc)$

Sans le faire, vu qu'il s'agit seulement d'un changement de notations (permuatation circulaire sur les lettres A B C)

$(bh)\perp (ca)$

$(ch)\perp (ab)$

Donc H orthocentre du triangle ABC

Je te joins l'énoncé complet et la correction associée.
Regarde si cela peut t'être utile.

[mtschoon]

https://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/ProblemesBac/AnnalesThematiques/Complexes/BacS_Juin2007_Obligatoire_Alger_Exo2_Enonce.pdf

Remarque : Il y a une faute de transcription à la question III 3)b)
Il faut lire $k\in z$

[mtschoon]

https://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/ProblemesBac/AnnalesThematiques/Complexes/BacS_Juin2007_Obligatoire_Alger_Exo2_Corrige.pdf

[Anabelle2110]

Bonjour ,
et non mon énoncé ne me donne rien vu qu'il s'agit d'une narration de recherches...

[mtschoon]

S'il s'agit de recherches, tu peux j'espère utiliser les liens fournis...

[Anabelle2110]

merci beaucoup du lien mais j'ai du mal à comprendre la démonstration que $\frac{b+c}{b-c}$ soit un imaginaire pur avec w d'après le corrigé

[mtschoon]

Si ta difficulté est pour prouver que w est imaginaire pur , tu peux utiliser la propriété suivante :
un complexe est imaginaire pur si et seulement si son conjugué est égal à son opposé.

$w=\bar{b}c-b\bar{c}$

donc $-w=-\bar{b}c+b\bar{c}$

Avec les propriétés de conjugués : $\bar{w}=b\bar{c}-\bar{b}c$

d'où la réponse.

[Anabelle2110]

Mais pourquoi w=$\bar{b}c-b\bar{c}$?

[mtschoon]

L'énoncé du Bac S 2007 donnait des questions intermédiaires , dont l'utilisation de $\bar{b}c-b\bar{c}$, pour arriver à prouver, de façon commode, que H est orthocentre.

Evidemment, vu que tu n'as de questions, tu peux inventer une autre méthode si tu le souhaites.

[Anabelle2110]

Je ne pense pas avoir de méthode plus efficace et plus simple donc je vais essayer de m'inspirer de ce corrigé
Mais merci quand même ...

[mtschoon]

Je veux bien te proposer une autre méthode pour prouver que $\frac{b+c}{b-c}$ est imaginaire pur sans passer par w auquel tu n'aurais pas pensé si ce n'était pas écrit dans l'énonce du Bac, mais ce n'est pas si simple que ça...à toi de voir.

Idée : Utiliser las formes exponentielles et les formules d'Euler

$b=r{e}^{i\beta }$
$c=r{e}^{i\gamma }$

Après simplification par r:

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{e^{i\beta}+e^{i\gamma}}{e^{i\beta}-e^{i\gamma}$

Après, il faut transformer (et c'est de la véritable gymnastique ! )

Tu mets $e^{i\beta }$ en facteur

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{e^{i\beta }(1+e^{i(\gamma -\beta )})}{e^{i\beta }(1-e^{i(\gamma -\beta )})}$

Tu simplifies ensuite par $e^{i\beta }$

Pour alléger les notations, je pose $\theta =\gamma -\beta$

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{1+e^{i\theta }}{1-e^{i\theta }}$

Ensuite, tu mets $e^{i\frac{\theta }{2}}$ en facteur au numérateur et dénominateur et tu simplifies

En utilisant les formules d'Euler et après simplifications, sauf erreur, tu dois trouver :

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{\cos \frac{\theta }{2}}{i\sin \frac{\theta }{2}}$

D'où

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{i\cos \frac{\theta }{2}}{-\sin \frac{\theta }{2}}$

Donc $\frac{b+c}{b-c}$ imaginaire pur.

Ce n'est pas simple...tu as le choix : utiliser l'outil w ou faire directement les calculs proposés...

Bon courage !

[Anabelle2110]

wouah c'est vraiment technique et intéressant d'avoir eu recours aux formes exponentielles mais je pense que je vais rester sur le choix de l'outil w
Je vous remercie beaucoup !

[mtschoon]

Effectivement, cette gymnastique n'est pas simple.
On l'utilise souvent en Post-bac mais elle est de niveau Terminale vu que les propriétés utilisées sont au programme de TS.

Je pense que ceux qui ont fait l'énoncé du Bac on utilisé w pour l'éviter à l'examen...

Bon travail !

[Anabelle2110]

Merci !

[mtschoon]

De rien !

A+