Suites numériques 1

Alors voila j'ai un gros problème de raisonnement..

Soit (an) et (bn) deux suites définies par a0 = 2 et b0 = 3 et par le système

An+1 = 1/5(3an+2bn)
bn+1 = 1/5(2an+3bn)

Soit (Un) la suite définie par Un = an + bn

a) Calculer Un+1 en fonction de Un
b) Calculer Un en fonction de n

Soit (Vn) la suite de terme général Vn = an - bn

a) Pour tout entier n, calculer Vn+1 en fonction de Vn

b) Exprimer Vn en fonction de N , la suite V,n est -elle convergente ?

c) Exprimer an et bn en fonction d n

d) Calculer les limites des suites (an) et (bn) si elles existent

a) (1/5) (3an+2bn)+(2an+3bn)
⇔1/5(5an+5bn)
⇔5/5 * Un
⇔ Un

b) Je ne sais pas du tout comment faire

a) Vn+1 = an+1 - bn+1
⇔1/5(3an+2bn)-(2an+3bn)
⇔1/5 ( 5an - 5bn)
⇔1/5 bN

b) Vn = Vo*(1/5 )n= -1*(1/5)n

c) et D) aucune idée

Aidez moi svp je suis vraiment perdu

BONJOUR !

Ici, on dit "Bonjour" ou "Bonsoir" quand on vient demander de l'aide;
ça fait plaisir à celle ou celui qui vient aider (bénévolement)

Je regarde tes réponses,

1)a) Oui; pour tout n de N, $u_{n+1}=u_n$

1)b) $U_n$ est donc constante

Pour trouver la valeur de cette constante, il te suffit de calculer $U_0$ qui vaut $a$ _0 $b_0$

2)a) Ton calcul est globalement exact, mais il y a une erreur ici :

Citation
1/5 ( 5an - 5bn)

Il s'agit de $vn+1=15(an−bn)v_{n+1}=\frac{1}{5}(a_n-b_n)$

$V_n$ ) est donc la suite géométrique de raison 1/5 et de premier terme $V$ _0 $= a$ _0 $b_0$ =-1

2)b) Tu as peut-être des problèmes d'écritures car les puissances manquent

$vn=(−1)×(15)n=−(15)nv_n=(-1)\times (\frac{1}{5})^n=-(\frac{1}{5})^n$

Pour la convergence de cette suite, regarde ton cours relatif aux suitesgéométriques.
Lorsque la raison est comprise entre 0 et 1; la siuite converge vers....(complète)

Elle tend vers +∞ ?

Pour la limite de (Vn), revois ton cours. Ce n'est pas +∞, qui n'aurait aucun sens !
Calcule $V_{10}$ , $V1_{00}$ ,..., pour t'en apercevoir.

Je trouve V10 = 0...

Je crois m'être trompe

Je ne pense pas que tu te sois trompé.

Ma calculette me donne $V_{10}$ ≈ $10^{-7}$ donc $V_{10}$ ≈ 0

Dans ton cours, tu devrais voir écrit (en principe !) :

Convergence d'une suite géométrique :
Si q = 1 la suite est constante donc convergente.
Si |q|< 1, la suite est convergente et converge vers 0.
Si |q|> 1, la suite est divergente.

Pour les limites c'est 0 pour Vn etc ?

je ne sais pas ce que tu veux dire par "etc"...

Pour $U_n$ ) la limite est 5 (suite constante avec $U_0$ =2+3=5)

Pour $V_n$ ) la limite est 0 (déjà expliqué)

Passe au c) .

Piste pour le c)

$\left{a_n+b_n=u_n\a_n-b_n=v_n\right$

En ajoutant membre à membre, tu trouveras $2a_n$
Il te suffira de diviser par 2 pour obtenir $a_n$

En retranchant membre à membre, tu trouveras $2b_n$
Il te suffira de diviser par 2 pour obtenir $b_n$

Tu peux poster tes résultats pour vérification si besoin.

Donc cela me fait

$\begin{cases} & \text{ a_{n}+b_{n} } = u_{n} \ & \text{ a_{n}-b_{n} } = v_{n} \end{cases}$

mais aprés je ne sais comment vous faites pour " retrancher ", car au final on trouve

$2a_{n}+2b_{n}=u_{n}+v_{n}$

$an+bn=<em>u</em>n2+vn2a_{n}+b_{n}=<em>{}\frac{u</em>{n}}{2}+\frac{v_{n}}{2}$

Je me perd dans tout ses calculs....

Non...

En ajoutant membre à membre , tu obtiens $b_n-b_n$ , ce qui vaut 0

Il reste donc :

$2a_n=u_n+v_n$

d'où

$an=un+vn2a_n=\frac{u_n+v_n}{2}$

Ensuite, tu remplaces $U_n$ et $V_n$ par les expressions trouvées précedemment.

Donc :

$an=5+(−1)2a_{n}=\frac{5+(-1)}{2}$

$a_{n}= 2$

Est ce correct ?

Non...

L'expression de $V_n$ n'est pas bonne.

C'est $an=52a_{n}=\frac{5}{2}$ ?

Fais attention !

Tu sais que :

$vn=−(15)nv_n=-(\frac{1}{5})^n$

donc

$an=5−(15)n2a_n=\frac{5-(\frac{1}{5})^n}{2}$

Lorsque n tend vers +∞, $−(15)n-(\frac{1}{5})^n$ tend vers 0, donc la limite de $a_n$ ) est $52\frac{5}{2}$

Pour que tu puisses vérifier ton dernier calcul, je t'indique la valeur de $b_n$ et la limite

$bn=un−vn2=5+(15)n2b_n=\frac{u_n-v_n}{2}=\frac{5+(\frac{1}{5})^n}{2}$

La limite de $b_n$ ) est donc la même que celle de $a_n$ ) c'est à dire $52\frac{5}{2}$

Je te conseille de revoir tout cela de près.
Bon travail.