3. équation et complexes

équation et complexes

  • S

    Bonjour,

    Dans cet exercice les racines sont à valeurs complexes et réel, j ai un doute pouriii et −i-i−i.En posant la forme algébrique,on se retrouve à résoudre un système à deux inconnus?

    Voici l'équation:(z−2iz+2i)3+(z−2iz+2i)2+(z−2iz+2i)+1=0{ \left( \frac { z-2i }{ z+2i } \right) }^{ 3 }+{ \left( \frac { z-2i }{ z+2i } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { z-2i }{ z+2i } \right) }+1=0(z+2iz−2i​)3+(z+2iz−2i​)2+(z+2iz−2i​)+1=0

    les termes sont consécutifs ,c'est une somme de suite géométrique de raison qqq

    sn=∑n=0kqn=1−qk+11−q{ s }_{ n }=\sum _{ n=0 }^{ k }{ { q }^{ n } } =\frac { 1-{ q }^{ k+1 } }{ 1-q }sn​=∑n=0k​qn=1−q1−qk+1​

    sn=q4−1q−1=0→(q−1)(q+1)(q+i)(q−i)=0{ s }_{ n }=\frac { { q }^{ 4 }-1 }{ q-1 } =0\quad \rightarrow \quad \left( q-1 \right) \left( q+1 \right) \left( q+i \right) \left( q-i \right) =0sn​=q−1q4−1​=0→(q−1)(q+1)(q+i)(q−i)=0

    sachant,q≠1q\neq 1q​=1 alors $\ s=\left{ -1,i,-i \right}$

    pour q=−1 −(z+2i)=z−2iq=-1\ -\left( z+2i \right) =z-2iq=−1 −(z+2i)=z−2idonc ,z=0z=0z=0

    q=i,−iq=i,-iq=i,−i peut être le conjugué ou ce système bizarre?

    merci, d'avance

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonsoir Sophie,

    Je regarde rapidement

    Si j'ai bien compris, tu a fait le changement d'inconnue q=z−2iz+2iq=\frac{z-2i}{z+2i}q=z+2iz−2i​

    Equation auxiliaire q3+q2+q+1=0q^3+q^2+q+1=0q3+q2+q+1=0

    Solutions de cette équation auxiliaire :q=-1 , q=i , q=-i

    Retour à z avec l'équation z−2iz+2i=q\frac{z-2i}{z+2i}=qz+2iz−2i​=q

    Pour q=-1

    z−2iz+2i=q\frac{z-2i}{z+2i}=qz+2iz−2i​=q tu dois trouver z=0

    Pour q=i

    z−2iz+2i=i\frac{z-2i}{z+2i}=iz+2iz−2i​=i tu dois trouver z=-2

    Pour q=-i

    z−2iz+2i=−i\frac{z-2i}{z+2i}=-iz+2iz−2i​=−i tu dois trouver z=2

    L'ensemble des solutions de l'équation proposée est :{0,-2,2}

    Vérifie, j'ai fait très vite...

    S 1 réponse
  • S

    bonsoir,

    Oui sa colle sa confirme un système à deux inconnues.

    ex; iii

    i(z+2i)=z−2i (i−1)(a+ib)+2(i−1)=0 (i−1)(a+ib+2)=0 i(a−b+2)+(−b−a−2)=0i\left( z+2i \right) =z-2i\ \left( i-1 \right) \left( a+ib \right) +2\left( i-1 \right) =0\ \left( i-1 \right) \left( a+ib+2 \right) =0\ i\left( a-b+2 \right) +\left( -b-a-2 \right) =0i(z+2i)=z−2i (i−1)(a+ib)+2(i−1)=0 (i−1)(a+ib+2)=0 i(a−b+2)+(−b−a−2)=0

    soit {a−b+2=0 −a−b−2=0\begin{cases} a-b+2=0 \ -a-b-2=0 \end{cases}{a−b+2=0 −a−b−2=0​

    ce qui revient à 2a=−42a=-42a=−4 z=−2z=-2z=−2 (réel)

    merci beaucoup ,bon week end.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Effectivement, si tu souhaites passer par la forme algébrique, tu obtiens bien sûr les mêmes résultats.

    Pour q=i par exemple

    {a−b+2=0 −a−b−2=0\begin{cases} a-b+2=0 \ -a-b-2=0 \end{cases}{a−b+2=0 −a−b−2=0​

    En ajoutant membre à membre et en retranchant membre à membre, on trouve a=-2 et b=0, d'où z=-2+0i=-2

    Mais c'est plus rapide de travailler directement dans C en résolvant l'équation d'inconnue z que de travailler dans R² pour obtenir (a,b) puis z.

    Bon week-end !

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