Ecrire des nombres complexes sous forme exponentielle

Bonjour,

1) Résoudre dans C l'équation $3z+2z+1=z+3\frac{3z+2}{z+1}=z+3$
On note z1 la solution dont la partie imaginaire est négative et z2 l'autre solution.
Effectivement j'ai trouvé deux solutions : z1= $−1−i32\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ et z2 = $−1+i32\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

2)Écrire z1 et z2 sous forme exponentielle
z1= $e−i2π3e^{-\frac{i2\pi }{3}}$
z2= $ei2π3e^{\frac{i2\pi }{3}}$

3) On considère M1(z1) et M2(z2). Où placer M3 pour que le triangle M1M2M3 soit équilatéral de centre O ?
Pour qu'un triangle soit équilatéral ses côtés doivent être égaux donc les modules /zM3M/=/zM3M2/
M3 a pour affixe 0 non ?

4) a- Soit D le point tel que le vecteur M2D=3M2O. Placer D et calculer son affixe .

j'ai trouvé que D a pour affixe (1+i2 $3\sqrt{3}$ )

b- Quelle est la nature du quadrilatère M1M2M3D ?Justifier

Je me suis aidée de géogebra et j'ai remarqué qu'il s'agissait d'un trapèze
Pour le justifier il faudrait que je montre que la petite base soit (M3M2) et la grande base (M1D) sont parallèles entre elles ?

Bonjour,

Je regarde le début,

Oui pour ta réponse à la 1)

Oui pour ta réponse à la 2)

Pour la 3), je ne comprends pas ta réponse...

$M_3$ d'affixe 0 veut dire que $M_3$ serait au point O origine du repère.
Cela n'est pas possible vu que O doit être le centre du triangle $M$ _1 $M$ _2 $M_3$

Pour trouver $M_3$ tu dois pouvoir utiliser seulement des considérations géométriques, sans calcul.

Il faut que le module de z(M3O ) soit égal aux modules de z(M1O) et z(M2O) ?

Ce serait plus lisible que tu mettre les numéros en indices...
Il te suffit d'écrire le numéro normalement, de le sélectionner à la souris et de cliquer sur "Indice" (au dessous du cadre texte)

Oui, mais un raisonnement géométrique peux d'éviter des calcus

$O M$ _1 $= O M$ _2 $OM_3$

$M_3$ est donc sur le cercle de centre O et de rayon 1

De plus, $M_3$ doit être sur la médiatrice du segment $[M$ _1 $M_2$ ]

En prenant l'intersection des deux, tu trouves $M_3$ , point d'affixe 1

Pour le 4)a), vérifie un signe.

D doit avoir pour affixe $1−i31-i\sqrt 3$ (

Merci beaucoup !

mais pour le 4)a j'ai refais mon calcul et je trouve cette fois ci pour D comme affixe 1-i $3\sqrt{3}$

Oui.
Ta nouvelle valeur de l'affixe de D est bonne (j'avais vu l'erreur de signe mais pas celle du 2)

donc il s'agit d'un parallélogramme puisque les vecteurs $m1m2⃗=m3d⃗\vec{m_{1}m_{2}}=\vec{m_{3}d}$

C'est plutôt

$m2m1⃗=m3d⃗\vec{m_{2}m_{1}}=\vec{m_{3}d}$

Vérifie que ce parallélogramme est un losange.

Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange.