Problème limite de suite

Bonjour, j'ai un Dm à rendre pour la rentrée et j'ai un petit problème sur une question.

On a la fonction f(x) = $e^x$ -1) / $e^x$ -x)

On a la suite Un= ∫$$^n$_0$ (f(x) -1)dx

On me demande d'exprimer Un en fonction de n.
Du coup je primitive f(x) qui est de la forme u'/u . On a selon moi F(x) = $ln(e^x$ - x )

Puis je fais l'intégrale : [ $ln(e^x$ -x) - x $]$ ^n $_0$

On a : Un = $ln(e^n$ -n) -n -(ln $e^0$ - 0) - 0
= $ln(e^n$ - n) -n

Puis là est mon problème, on me demande de trouver la limite de Un en +∞.
Il est ajouté en italique : On pourra utiliser l'égalité n=ln $e^n$
Sauf que là je peux rien faire vu que j'ai un moins dans mon $ln(e^n$
-n)
Je pense que je me suis trompé quelque part car sinon il ne mettrait pas la remarque en italique. De plus comme c'est une intégrale cela soit tendre vers +∞ soit vers un nombre fini mais pas -∞.
D'ailleurs j'ai remarqué que si je calcule U1 j'obtiens un résultat négatif ce que je ne comprends pas. La question juste avant demande de calculer -U1 ce que je n'ai compris, pourquoi avoir ajouté le - devant U1. Enfin ca parait logique vu que U1 est négatif et que l'on ne peut pas avoir une surface négative.

J’espère avoir été clair dans mon problème. Je remercie déjà les futures réponses si il y en a.

Bonsoir,

Oui pour l'expression de Un

Pour la suite, utilise l'indication donnée et pense à la propriété relative à la différence de 2 logarithmes: $lna−lnb=lnablna-lnb=ln\frac{a}{b}$

$un=ln(en−n)−ln(en)=lnen−nen=ln(1−nen)u_n=ln(e^n-n)-ln(e^n)=ln\frac{e^n-n}{e^n}=ln(1-\frac{n}{e^n})$

Tu poursuis.

Reposte si besoin.

Ah oui super j'avais pas remarqué que je pouvais transformer le n . Merci beaucoup pour l'aide. J'ai un second problème mais je le posterais plus tard, je préfère réfléchir un peu plus dessus.

Oui, c'est mieux de bien réfléchir (et j'espère que tu as trouvé 0 pour limite de (Un) ).

Oui j'ai bien trouvé 0, c'était assez simple après la transformation.