Suites dans un DM

Bonjour à tous !
Je suis coincée dans mon DM de Mathématiques ...
Voici l'énoncé :

Suites

On considère la suite (Un),n∈N définie par U0=1 et pour tout n∈N :
Un+1 = (1/3)*Un +2 n- 5

1a. Démontrer que pour tout entier naturel n≥6, Un≥n.
1b. En déduire la limite de la suite (Un),n∈N.
2. On définit la suite (Vn),n∈N par, pour tout n∈N :
Vn= 3Un + -9n +36.
2a. Démontrer que la suite (Vn),n∈N est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
2b. En déduire que pour tout n∈N, Un= (13/(3)^n) + 3n-12.
3a. Vérifier que pour tout entier naturel n, Un = xn + yn où (xn) est une suite géométrique et (yn) une suite arithmetique, dont on précisera pour chacune, le premier terme ainsi que la raison.
3b. Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel n par
.......n
Sn = ∑ Uk.
......k=0
Déterminer l'expression de Sn en fonction de n.

Ce que j'ai fait :

J'ai calculé U6 = 4387/729.
Afin de démontrer, j'utilise la récurrence :
P(n) la propriété : "Un >= n"
Initialisation : U6 >=6 donc P(6) est vraie.
Hérédité : soit N un entier naturel donné avec N >= 6.
Supposons que P(N) est vraie,
(donc UN >= N).
Supposons que P(N+1) est vraie,
(donc UN+1>= N+1).
Par hypothèse de récurrence :
Je ne vois pas comment faire...

1b. lim (Un) tend vers plus l'infini.
2a. J'ai trouvé 3 Vn.
Vn est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme V0 = 3U0-9×0+36=39.
Par contre je ne sais pas démontrer qu'elle est strictement décroissante.
2b. Je ne vois pas comment faire pour la suite de l'exercice.

Merci beaucoup d'avance et bonne journée !

Bonjour,

Je regarde le début de tes réponses.

1)a)

l'hérédité est à revoir.

Tu supposes que P(n) est vraie, c'est à dire que $un≥nu_n \ge n$

Tu dois DEMONTRER que P(n+1) est vraie, c'est à dire que

$un+1≥n+1u_{n+1} \ge n+1$

Piste,

$un≥nu_n \ge n$ , d'où

$un+1≥13n+2n−5u_{n+1} \ge \frac{1}{3}n+2n-5$

Tu isoles n dans le membre de droite

$un+1≥n+(13n+n−5)u_{n+1} \ge n +(\frac{1}{3}n+n-5)$

Il te reste à prouver que , pour n ≥ 6 : $13n+n−5≥1\frac{1}{3}n+n-5 \ge 1$

(cela me parait simple)

1)b) Oui

Pour la 2), tu as écrit
Citation
Vn= 3Un + -9n +36
Merci d'écrire $V_n$ avec clarté.

Bonsoir, merci beaucoup de m'avoir répondue !
J'ai corrigé mon DÉMONTRER qui était une faute d'étourderie
Je travailles maintenant sur la preuve que vous n'avez donné.
Je vous recontacte. Merci infiniment !

Bonsoir !
Pour la récurrence pouvons-nous essayer :
Un+1 = 1/3 Un + 2 n - 5
= .... = 5 n + 7
Puis, 5 n + 7 >= n + 1 et voir ce que cela donne si n >= -3/2 alors 5 n + 7 >= 1 ?
Merci d'avance !

Comme te l'a dit Sophie, ta proposition n'est pas pertinente...

D'une part, je ne vois pas comme tu as pu trouver Un+1=...=5n+7
? ? ?
D'autre part, le principe d'un raisonnement par récurrence est à assimiler.
Pour l'hérédité:

Hypothèse à un ordre n (n ≥ 6) : $un≥nu_n \ge n$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) : $un+1≥n+1u_{n+1} \ge n+1$

Tu dois utiliser l'hypothèse de la récurrence (à l'ordre n) pour obtenir la conclusion à l'ordre (n+1) , et pas partir de la conclusion à démontrer.

Je te conseille de revoir mon post précédent.
Lorsque tu l'auras compris, il te restera tout simplement à prouver que, pour n ≥ 6 :
$13n+n−5≥1\frac{1}{3}n+n-5\ge 1$ c'est à dire que $43n−5≥1\frac{4}{3}n-5\ge 1$

méthode :

$\text{n\ge 6 \rightarrow \frac{4}{3}n\ge \frac{4\times 6}{3} \rightarrow \frac{4}{3}n\ge 6 \rightarrow \frac{4}{3}n-5\ge 1$

Tu pourras ainsi tirer la conclusion souhaitée.

Bonjour,
Je suis désolé, je ne comprends pas. Notre professeur dit de partir de
Un+1 = 1/3 Un + 2 n - 5 pour faire notre hypothèse.

C'est tout à fait ça , mais tu n' a pas compris la suite...

$un+1=13un+2n−5u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2n-5$

Vu que l"hypothèse de la récurrence est $un≥nu_n \ge n$ , tu obtiens :

$un+1≥13n+2n−5u_{n+1} \ge \frac{1}{3}n+2n-5$

Bonjour,

Lorsque tu auras assimilé la récurrence, je te suggère de te pencher sur la suite $V_n$ )

D'abord, il faut que tu nous redonnes l'expression de $V_n$ car il y a visiblement une faute de frappe.

Ensuite, il faut que tu revois tes calculs car il y a une contradiction.
Tu dis que tu as trouvé 3 pour la raison et que tu dois prouver que la suite est strictement décroissante : c'est impossible !
La suite ne peut être strictement décroissante que si la raison est comprise entre 0 et 1 (regarde ton cours)

Donc $V_n$ ) est à revoir.

Toujours pas de nouvelles relatives à la suite (Vn)....

Tant pis !

Quelques pistes pour la partie 3) sachant que $un=133n+3n−12u_n=\frac{13}{3^n}+3n-12$

$un=13×(13)n+(−12+3n)u_n=13\times (\frac{1}{3})^n+(-12+3n)$

$xn=13×(13)nx_n=13\times (\frac{1}{3})^n$

$x_n$ ) suite géométrique de premier terme 13 et de raison $13\frac{1}{3}$

$y_n=-12+3n$

$y_n$ ) suite arithmétique de premier terme -12 et de raison 3

$s_n=\bigsum_{k=0}^{k=n}u_n= \bigsum_{k=0}^{k=n}x_n+\bigsum_{k=0}^{k=n}y_n$

Pour $\bigsum_{k=0}^{k=n}x_n$ on utilise la formule de la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 13 et de raison $13\frac{1}{3}$

Pour $\bigsum_{k=0}^{k=n}y_n$ on utilise la formule de la somme des n+1 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme -12 et de raison 3