Suites et algorithme



  • Bonsoir

    J'ai besoin de votre aide
    Je suis bloqué sur cet exo

    On note Vn l'effectif de vautours pour l'année 2016+1 avec n nombre entier naturel. Il ne restait environ 1000 vautours en 2016 soit V0=1000
    Hypôthèse que 2% des vautours meurent chaque année

    V0=1000
    V1=1080
    V2=1158
    V3=1235

    1- Exprimer Vn en fonction de n - etablir que pour tout entier naturel n,Vn+1=098Vn+100
    J'ai fait
    Vn+1=Vn-2/100Vn+100
    = 0.98Vn+100

    2- Démontrer que la suite Un définie pour tout entier naturel n par Un=Vn-5000 est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
    J'ai commencé ainsi
    Un=Vn-5000
    Un+1=Vn+1-5000
    =0.98Vn+100-5000
    =0.98Vn-4900

    et la je bloque

    3- Exprimer Un puis Vn en fonction de n

    Merci à vous pour votre aide car j'ai encore d'autres questions à traiter à la suite de celles-ci


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je suppose que tu n'as pas écrit toutes les données car il n'y a pas d'explication sur ce "+100" ...

    J'admets donc (sans preuve) que vn+1=0.98vn+100v_{n+1}=0.98v_n+100

    Piste pour la 2)

    Tes calculs sont justes mais il faut continuer en exprimant VnV_n en fonction de UnU_n

    un=vn5000u_n=v_n-5000 donc vn=un+5000v_n=u_n+5000

    d'où

    un+1=0.98vn4900=0.98(un+5000)4900u_{n+1}=0.98v_n-4900=0.98(u_n+5000)-4900

    Tu développes, tu simplifies et tu dois trouver

    un+1=0.98unu_{n+1}=0.98u_n

    (Un) est la suite géométrique de premier terme U0 (que tu calcules) et de raison 0.98

    Tu pourras écrire que un=u0(0.98)nu_n=u_0(0.98)^n puis en déduire l'expression de VnV_n en fonction de n

    Essaie de poursuivre.



  • Bonsoir

    Donc pour Vn je trouve
    = -3920*0.98n+5000

    Ensuite j'ai 2 dernières questions et là je ne sais pas du tout comment les traiter

    • Expliquer pourquoi l'intervalle ]4500:5500[ contient tous les termes Vn à partir d'un certain rang à préciser
      Pour info dans une de mes premières questions, j'ai du calculer les valeurs jusque N=200

    • Rédiger un algo donnant le rang à partir duquel les termes Vn appartiennent à un intervalle du type ]5000-a;5000+a[ où a est un réel positif

    Encore merci à vous


  • Modérateurs

    Je ne comprends pas la valeur -3920 que tu donnes .

    D'après ton énoncé, v0=1000v_0=1000 et un=vn5000u_n=v_n-5000 d'où u0=v05000u_0=v_0-5000

    Au final, u0=10005000=4000u_0=1000-5000=-4000

    Cela change l'expression de VnV_n

    Vérifie cela avant de poursuivre les questions.



  • bonsoir

    oui je me suis trompée

    Vn=-4000+5000=1000

    pouvez vous m 'aider pour les suivantes


  • Modérateurs

    Idée pour l'intervalle I=]4500,5500[

    vn=4000(0.98)n+5000v_n=-4000(0.98)^n+5000

    Cette suite est à termes positifs, croissante;
    Lorsque n tend vers +∞, 0.98n98^n tend vers 0 donc VnV_n tend vers 5000.
    Pour des grandes valeurs de n, VnV_{n }appartient donc à un intervalle centré sur 5000.
    A vrai dire, VnV_n appartient à la partie gauche de cet intervalle I.

    Ma calculette me donne
    V102≈4490,5
    V103≈4500,7

    Donc VnV_{n }appartient à I pour n ≥ 103

    Vérifie avec ta calculette.

    Idée pour l'algorithme avec I=]5000-a,5000+a[

    VnV_n sera dans la partie gauche de l'intervalle (raison indiquée précédemment)

    Pour faire simple, la condition VnV_n > 5000-a sera suffisante.

    Inspire toi de l'algorithme donné dans l'énoncé de ton précédent exercice.

    Je te joins un algorithme possible fait avec Algobox ( gratuit et que tu peux télécharger). Il est commode car on peut tester l'algorithme et voir ainsi les erreurs éventuelles.
    Evidemment, écris l'algorithme avec les habitudes de ton professeur.

    fichier math

    Bon travail !



  • Ok merci pour votre aide

    je vais essayer de refaire un algo


  • Modérateurs

    De rien !

    A+


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