Conjecturer et démontrer une formule explicite des termes d'une suite

Bonjour, j'ai quelques soucis avec un exercice de maths, si c'est possible d'avoir un peu d'aide

Pour la suite ci-dessous, calculer les premiers termes puis conjecturer une formule explicite des termes Un et enfin démontrer cette formule par récurrence.
Pour tout entier naturel n>0
U1 = 1/3
Un+1 = ((n+1)/(3n))Un

Merci
Arthur

PS Je sais pas comment noter ça correctement sur ordi, avec des fractions propre et tous ce qui va avec

Bonjour,

Pour noter correctement sur le site, il te faut utiliser les codes Latex (regarde dans la colonne de gauche "Visualisateur LaTeX")

Piste pour démarrer ton exercice,

Commence à calculer quelques termes.
Je te conseille de calculer au moins jusqu'à n=5 ou 6, pour arriver à faire une conjecture.

$u1=13u_1=\frac{1}{3}$

En remplaçant n par 1, tu obtiens :

$u2=23×13=29u_2=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$

Tu continues

Reposte si besoin.

j'avais déjà calculé les 10 premiers termes que voici
$u3=36×29=654=19u_3 = \frac{3}{6}\times\frac{2}{9}=\frac{6}{54}=\frac{1}{9}$

$u4=49×19=481u_4 = \frac{4}{9}\times\frac{1}{9}=\frac{4}{81}$

$u5=512×481=20972=5243u_5 = \frac{5}{12}\times\frac{4}{81}=\frac{20}{972}=\frac{5}{243}$

$u6=615×5243=303645=2243u_6 = \frac{6}{15}\times\frac{5}{243}=\frac{30}{3645}=\frac{2}{243}$

$u7=718×2243=354374u_7 = \frac{7}{18}\times\frac{2}{243}=\frac{35}{4374}$

$u8=821×354374=28091854=206561u_8 = \frac{8}{21}\times\frac{35}{4374}=\frac{280}{91854}=\frac{20}{6561}$

$u9=924×206561=180157464=52187u_9 = \frac{9}{24}\times\frac{20}{6561}=\frac{180}{157464}=\frac{5}{2187}$

$u_1_0 = \frac{10}{27}\times\frac{5}{2187}=\frac{50}{59049}$
Mais pour trouver une formule explicite à ça.... C'est un peu complexe
Merci pour l'astuce d'écriture

C'est vrai que la fonction explicite n'est pas évidente...

Souvent, dans les énoncés il y a une suite auxiliaire qui permet de trouver mais ici, visiblement, il n'y a pas d'aide...

J'ai vérifié tes calculs que jusqu'à $u_6$ c'est bon.
(vérifie les suivants...j'ai quelques doutes...)

Piste pour trouver la fonction explicite

Observe les dénominateurs successifs

$3=3^1 \ 9=3^2 \ 27=3^3 \ 81=3^4 \ 243=3^5 \ 729=3^6$
...

Regarde ensuite les numérateurs correspondants.

Yes c'est tout bon !!!
merci

De rien ! (et j'espère que tu as bien trouvé $n/3^n$ )

oui oui c'est ce que j'ai trouvé !
J'avais juste un souci sur les termes après ça va tout seul
Je reviendrai vous voir des que j'ai d'autre(s) souci(s)

D'accord.

A+