3. Vecteurs colinéaires

Vecteurs colinéaires

  • B

    Bonjour à tous !
    Je viens vers vous car je bloque sur un exercice relatif aux vecteurs. J'ai beau faire, je ne vois pas de solution. Je ne comprends pas ce que signifie " écrire en fonction des vecteurs " .
    Voilà l'exercice :

    A,B,C est un triangle quelconque. p, q et r trois réels distincts de 1 et P, Q et R trois points tels que :
    → → → → → → → → →
    PB - pPC = 0; QC -qQA = 0 et RA -rRB = 0

    → → → → →
    1/ écrire AP, AQ et AR en fonction des vecteurs AB et AC. → →
    2/ déterminer les coordonnées des points P; Q et R dans le repère (A, AB, AC).
    3/ démontrer que les points P, Q et R sont alignés si et seulement si pqr = 1

    Merci d'avance pour votre aide.
    Cordialement
    bzhmath56

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Tu as écrit
    Citation
    écrire AP, AQ et AR en fonction des vecteurs AB et AC.

    Es-tu vraiment sûr de cette question ? S'agit-il vraiment deaq⃗\vec{aq}aq​ et ar⃗\vec{ar}ar?

    J'ai un doute....Vérifie...

    Je t'aide un peu pour ap⃗\vec{ap}ap​

    Il faut obtenir $\fbox{\vec{ap}=...\vec{ab}+...\vec{ac}}$

    Relation de Chasles :

    ap⃗=ab⃗+bp⃗\vec{ap}=\vec{ab}+\vec{bp}ap​=ab+bp​ (formule ***)

    Il faut transformer bp⃗\vec{bp}bp​

    bp⃗=pcp⃗=p(ca⃗+ap⃗)=pca⃗+pap⃗=pca⃗+p(ab⃗+bp⃗)\vec{bp}=p\vec{cp}=p(\vec{ca}+\vec{ap})=p\vec{ca}+p\vec{ap}=p\vec{ca}+p(\vec{ab}+\vec{bp})bp​=pcp​=p(ca+ap​)=pca+pap​=pca+p(ab+bp​)

    Donc

    bp⃗=pca⃗+pab⃗+pbp⃗\vec{bp}=p\vec{ca}+p\vec{ab}+p\vec{bp}bp​=pca+pab+pbp​

    bp⃗−pbp⃗=pca⃗+pab⃗\vec{bp}-p\vec{bp}=p\vec{ca}+p\vec{ab}bp​−pbp​=pca+pab

    bp⃗(1−p)=pca⃗+pab⃗\vec{bp}(1-p)=p\vec{ca}+p\vec{ab}bp​(1−p)=pca+pab

    Pour p≠1, en divisant par (1-p) , tu obtiens bp⃗\vec{bp}bp​

    En remplaçant cette expression dans la formule***, tu obtiens ap⃗\vec{ap}ap​

    B 1 réponse
  • B

    Oui je suis sur qu'il s'agit bien des vecteurs AQ et AR

    Sinon merci pour ton aide.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    J'espère que tu as terminé le calcul de ap⃗\vec{ap}ap​

    Pour les deux autres :

    aq⃗=ab⃗+bq⃗\vec{aq}=\vec{ab}+\vec{bq}aq​=ab+bq​ et ar⃗=ac⃗+cr⃗\vec{ar}=\vec{ac}+\vec{cr}ar=ac+cr

    Pourbq⃗\vec{bq}bq​ et cr⃗\vec{cr}cr , tu n'as pas besoin de faire tous les calculs.
    Tu prends la réponse de ap⃗\vec{ap}ap​ et tu fais des permutations circulaires sur les lettres .
    C'es pour cela que j'imaginais que bq⃗\vec{bq}bq​ et cr⃗\vec{cr}cr seraient peut-être demandés séparément.

    Bon travail !

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