Suite numérique



  • Bonjour,

    Alors j'ai un petit problème qui me tracasse l'esprit..

    On considère la suite ( Vn ) définie sur N par :

    vo=3vo=3

    vn+1=vn2+vn+1vn+1 = vn^2+vn+1

    1. Mq Vn est croissante

    2. Montrer par récurrence que pour tout entier n0,n\geq 0 , vnn+3vn\geq n+3

    3. En déduire la limite de Vn

    Alors pour 1. , j'ai essayer en faisant Vn+1 - Vn mais je tombe sur des choses bizarre
    j'ai essaye par récurrence et arrivé à l'hérédité , je bloque

    Pour la 2. Je bloque de nouveau à l'hérédité...

    Help me please


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Quelques pistes à compléter ,

    Pour la 1), vn+1vn=(vn)2+1v_{n+1}-v_n=(v_n)^2+1

    (vn)2+1>0(v_n)^2+1 \gt 0 donc ......

    Pour l'hérédité de la 2)

    Hypothèse de la récurrence vnn+3v_n \ge n+3

    Conclusion à démontrer:
    vn+1(n+3)+1v_{n+1}\ge (n+3)+1 c'est à dire (vn+1)n+4(v_{n+1})\ge n+4

    DEMONSTRATION

    En utilisant l'expression de Vn+1V_{n+1} et l'hypothèse de la récurrence

    vn+1(n+3)2+(n+3)+1v_{n+1} \ge (n+3)^2+(n+3)+1

    vn+1n+4+(n+3)2v_{n+1} \ge n+4 +(n+3)^2

    Or (n+3)2>0(n+3)^2 \gt 0 donc vn+1.............v_{n+1} \ge ..............


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