DM suite


  • C

    Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre mais je suis un peu perdu, l'énoncé est :

    "un escargot marche sur un fil élastique long de 1km, dont les extrémités sont notées A et B.
    Il part de A et se dirige vers B. Chaque journée, il parcourt 50m puis, pendant la nuit, alors que l'escargot se repose et bave, l'élastique s'étire uniformément sur toute sa longueur et double de longueur.
    On nomme J, le premier jour puis J2, le jour suivant,..., et, pour tout n∈mathbbNmathbb{N}mathbbN, n>0 et on note Un la distance totale (en mètres) séparant l'escargot et le point A à la fin de la journée Jn. Ainsi, au terme du premier jour, on a U1=50.
    Cette histoire d'escargot ne concerne que la première question et peut être admise pour faire la suite."

    1)a-calculer U2
    d'après moi, Un+1=2Un+50 puisque chaque jour il parcourt 50m de plus et le fil double de longueur
    Donc, sachant que U1=50, alors U2=2*50+50=150
    b-expliquer pourquoi la suite Un verifie Un+1=2Un+50. Démontrer que cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique
    je ne sais pas trop comment expliquer et pour démontrer, faut-il que jecalcule plusieurs termes pour pouvoir ensuite voir r?

    2)On introduit la suite Vn définie pour tout n∈mathbbNmathbb{N}mathbbN, par Vn=Un+50
    Démontrer que cette suite est géométrique et préciser son premier terme ainsi que sa raison
    est ce que donc, Vn1=Un1+50? donc Vn1=50+50?

    3)En déduire une formule explicite pour Vn puis pour Un
    je ne comprend pas trop comment faire cette question

    4)démontrer qu'en 20 jours, la distance qui sépare l'escargot et le point A est supérieure à 'un tour du monde" (40 000km)
    faut-il que je calcule U20 puis comparer le résultat au tour du monde?

    Merci d'avance


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pistes,

    1)a)Pour U2U_2U2, explique sans utiliser la formule donnée au 1)b)

    U1U_1U1=50

    Avec l'élasticité , cette longueur U1U_1U1 double et devient 2U12U_12U1
    Comme l'escargot a avancé de 50m, on obtient :
    UUU_2=2U1=2U_1=2U1+50=150

    1)b) Tu expliques de la même façon le passage de UnU_nUn à Un+1U_{n+1}Un+1

    Ce n'est pas indispensable de donner des exemples

    un+1=2un+50u_{n+1}=2u_n+50un+1=2un+50

    Pour une suite arithmétique un+1=un+ru_{n+1}=u_n+run+1=un+r

    Pour une suite géométrique un+1=qunu_{n+1}=qu_nun+1=qun

    Avec cela, tu peux justifier facilement que la suite étudiée n'est ni arithmétique, ni géométrique.

    2)vn+1=un+1+50=2un+50+50=2un+100=2(un+50)=...v_{n+1}=u_{n+1}+50=2u_n+50+50=2u_n+100=2(u_n+50)=...vn+1=un+1+50=2un+50+50=2un+100=2(un+50)=...

    Tu dois ainsi trouver que (Vn(V_n(Vn) est une suite géométrique

    Tu peux utiliser la formule de ton cours pour exprimer Vn

    Tu pourras déduire UUUn=Vn=V_n=Vn-50, puis calculer U</em>20U</em>{20}U</em>20


  • C

    Bonjour, merci ça m'a beaucoup aidé, pour la 2) , j'ai donc prouvé que c'était une suite géométrique mais en calculant les 5 premiers termes et en montrant que c'était toujours multiplié par 2 mais je ne sais pas comment faire pour la 3), a quoi doit correspondre la formule de Vn et pour Un, comment je peux arriver à Un=Vn-50?


  • mtschoon

    Pour la 2), les exemples sont bons pour conjecturer ue propriété, mais ce n'est pas suffisant pour tirer une conclusion générale.

    Regarde la démonstration que j'ai commencée et termines la.

    Vu que un+50=vnu_n+50=v_nun+50=vn, tu obtiens

    vn+1=...=2(un+50)=2vnv_{n+1}=...=2(u_n+50)=2v_nvn+1=...=2(un+50)=2vn

    conséquence(regarde ton cours sur les suites géométriques )

    vn=v1×qn−1v_n=v_1\times q^{n-1}vn=v1×qn1 (tu remplaces V1V_1V1 et q par leurs valeurs).

    Vu que vn=un+50v_n=u_n+50vn=un+50, tu peux déduire que un=vn−50u_n=v_n-50un=vn50
    puis tu remplaces VnV_nVn par l'expression qui vient d'être trouvée.


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