DM suite

Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre mais je suis un peu perdu, l'énoncé est :

"un escargot marche sur un fil élastique long de 1km, dont les extrémités sont notées A et B.
Il part de A et se dirige vers B. Chaque journée, il parcourt 50m puis, pendant la nuit, alors que l'escargot se repose et bave, l'élastique s'étire uniformément sur toute sa longueur et double de longueur.
On nomme J, le premier jour puis J2, le jour suivant,..., et, pour tout n∈ $mathbb{N}$ , n>0 et on note Un la distance totale (en mètres) séparant l'escargot et le point A à la fin de la journée Jn. Ainsi, au terme du premier jour, on a U1=50.
Cette histoire d'escargot ne concerne que la première question et peut être admise pour faire la suite."

1)a-calculer U2
d'après moi, Un+1=2Un+50 puisque chaque jour il parcourt 50m de plus et le fil double de longueur
Donc, sachant que U1=50, alors U2=2*50+50=150
b-expliquer pourquoi la suite Un verifie Un+1=2Un+50. Démontrer que cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique
je ne sais pas trop comment expliquer et pour démontrer, faut-il que jecalcule plusieurs termes pour pouvoir ensuite voir r?

2)On introduit la suite Vn définie pour tout n∈ $mathbb{N}$ , par Vn=Un+50
Démontrer que cette suite est géométrique et préciser son premier terme ainsi que sa raison
est ce que donc, Vn1=Un1+50? donc Vn1=50+50?

3)En déduire une formule explicite pour Vn puis pour Un
je ne comprend pas trop comment faire cette question

4)démontrer qu'en 20 jours, la distance qui sépare l'escargot et le point A est supérieure à 'un tour du monde" (40 000km)
faut-il que je calcule U20 puis comparer le résultat au tour du monde?

Merci d'avance

Bonjour,

Pistes,

1)a)Pour $U_2$ , explique sans utiliser la formule donnée au 1)b)

$U_1$ =50

Avec l'élasticité , cette longueur $U_1$ double et devient $2U_1$
Comme l'escargot a avancé de 50m, on obtient :
$U$ _2 $2U_1$ +50=150

1)b) Tu expliques de la même façon le passage de $U_n$ à $U_{n+1}$

Ce n'est pas indispensable de donner des exemples

$u_{n+1}=2u_n+50$

Pour une suite arithmétique $u_{n+1}=u_n+r$

Pour une suite géométrique $u_{n+1}=qu_n$

Avec cela, tu peux justifier facilement que la suite étudiée n'est ni arithmétique, ni géométrique.

2) $v_{n+1}=u_{n+1}+50=2u_n+50+50=2u_n+100=2(u_n+50)=...$

Tu dois ainsi trouver que $V_n$ ) est une suite géométrique

Tu peux utiliser la formule de ton cours pour exprimer Vn

Tu pourras déduire $U$ n $V_n$ -50, puis calculer $U</em>{20}$

Bonjour, merci ça m'a beaucoup aidé, pour la 2) , j'ai donc prouvé que c'était une suite géométrique mais en calculant les 5 premiers termes et en montrant que c'était toujours multiplié par 2 mais je ne sais pas comment faire pour la 3), a quoi doit correspondre la formule de Vn et pour Un, comment je peux arriver à Un=Vn-50?

Pour la 2), les exemples sont bons pour conjecturer ue propriété, mais ce n'est pas suffisant pour tirer une conclusion générale.

Regarde la démonstration que j'ai commencée et termines la.

Vu que $u_n+50=v_n$ , tu obtiens

$v_{n+1}=...=2(u_n+50)=2v_n$

conséquence(regarde ton cours sur les suites géométriques )

$vn=v1×qn−1v_n=v_1\times q^{n-1}$ (tu remplaces $V_1$ et q par leurs valeurs).

Vu que $v_n=u_n+50$ , tu peux déduire que $u_n=v_n-50$
puis tu remplaces $V_n$ par l'expression qui vient d'être trouvée.