Aire minimale- fonction trinôme du second degré



  • Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour un DM de math s’il vous plaît :

    ABCD est un rectangle tel que AD= a et AB= 2a (avec a > 0)
    Les points M,N,P et Q appartiennent respectivement au cotés [AB], [BC], [DC] et [AD]
    De plus AM=BN=PC=DQ
    Déterminer la position du point M sur [AB] qui rend l’aire du quadrilatère MNPQ minimale

    J’avoue que j’ai pas compris grand chose, merci de votre aide !


  • Modérateurs

    Bonjour,

    J'espère que tu as fait un schéma.

    Idée :

    L'aire du quadrilatère MNPQ est la différence entre l'aire du rectangle ABCD et l'aire des quatre triangles rectangles de sommets respectifs A,B,C,D

    Tu peux poser AM=x avec 0 ≤ x ≤ a

    L'aire du rectangle ABCD est
    a×2a=2a2a\times 2a=2a^2

    Tu calcules les mesures des différents segments utiles en fonction de x
    mb=pd=ax qa=nc=2axmb=pd=a-x \ qa=nc=2a-x

    Tu calcules les aires des 4 triangles rectangles (de sommets respectifs A,B,C,D) en fonction de x

    Tu en déduis l'aire MNPQ en fonction de x . Soit f(x) cette aire.

    Sauf erreur, tu dois trouver f(x)=2x23ax+2a2f(x)=2x^2-3ax+2a^2

    Tu étudies les variations de f sur [0,a] et tu en déduis la valeur minimale pour x, d'où la position cherchée pour M

    Bons calculs !



  • Merci beaucoup, j’ai réussi jusqu’à la partie de la variation de la fonction sachant qu’il y a 2 carré (2a² et 2x²), comment étudier cette fonction ?


  • Modérateurs

    La variable est x

    f(x) est de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c

    a=2 b=3a c=2a2a=2 \ b=-3a \ c=2a^2

    f est une fonction trinôme du second degré.



  • J’avais essayé comme ça mais je n’en comprend pas comment faire, j’ai appris à le faire avec ax+bx+c mais pas avec des carré je n’en sais pas comment faire pour le calculer. Désolé de demander encore.


  • Modérateurs

    Tu as, je pense, appris, non avec ax+bx+c mais avec ax²+bx+c

    Regarde de près ton cours sur les polynômes du second degré.



  • Oui c’est exact, mais comme ici il y a 2 inconnues et un C avec carré , je n’arrive pas à trouvé une façon de m’en sortir pour arriver à un résultat cohérent.


  • Modérateurs

    Il n'y a pas deux inconnues.
    Il y en a une seule :c'est x
    a joue le rôle de paramètre.

    Regarde ton cours de près (en adaptant les notations).

    f(x)=Ax²+Bx+C

    A=2 dons A > 0
    f admet un minimum pourx=b2ax=\frac{-b}{2a}



  • D’accord, je vais essayer, merci de votre aide.


  • Modérateurs

    De rien !

    A+


 

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