Aire minimale- fonction trinôme du second degré

Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour un DM de math s’il vous plaît :

ABCD est un rectangle tel que AD= a et AB= 2a (avec a > 0)
Les points M,N,P et Q appartiennent respectivement au cotés [AB], [BC], [DC] et [AD]
De plus AM=BN=PC=DQ
Déterminer la position du point M sur [AB] qui rend l’aire du quadrilatère MNPQ minimale

J’avoue que j’ai pas compris grand chose, merci de votre aide !

Bonjour,

J'espère que tu as fait un schéma.

Idée :

L'aire du quadrilatère MNPQ est la différence entre l'aire du rectangle ABCD et l'aire des quatre triangles rectangles de sommets respectifs A,B,C,D

Tu peux poser AM=x avec 0 ≤ x ≤ a

L'aire du rectangle ABCD est
$a×2a=2a2a\times 2a=2a^2$

Tu calcules les mesures des différents segments utiles en fonction de x
$\ qa=nc=2a-x$

Tu calcules les aires des 4 triangles rectangles (de sommets respectifs A,B,C,D) en fonction de x

Tu en déduis l'aire MNPQ en fonction de x . Soit f(x) cette aire.

Sauf erreur, tu dois trouver $f(x)=2x^2-3ax+2a^2$

Tu étudies les variations de f sur [0,a] et tu en déduis la valeur minimale pour x, d'où la position cherchée pour M

Bons calculs !

Merci beaucoup, j’ai réussi jusqu’à la partie de la variation de la fonction sachant qu’il y a 2 carré (2a² et 2x²), comment étudier cette fonction ?

La variable est x

f(x) est de la forme $ax^2+bx+c$

$a=2 \ b=-3a \ c=2a^2$

f est une fonction trinôme du second degré.

J’avais essayé comme ça mais je n’en comprend pas comment faire, j’ai appris à le faire avec ax+bx+c mais pas avec des carré je n’en sais pas comment faire pour le calculer. Désolé de demander encore.

Tu as, je pense, appris, non avec ax+bx+c mais avec ax²+bx+c

Regarde de près ton cours sur les polynômes du second degré.

Oui c’est exact, mais comme ici il y a 2 inconnues et un C avec carré , je n’arrive pas à trouvé une façon de m’en sortir pour arriver à un résultat cohérent.

Il n'y a pas deux inconnues.
Il y en a une seule :c'est x
a joue le rôle de paramètre.

Regarde ton cours de près (en adaptant les notations).

f(x)=Ax²+Bx+C

A=2 dons A > 0
f admet un minimum pour $x=−b2ax=\frac{-b}{2a}$

D’accord, je vais essayer, merci de votre aide.

De rien !

A+