Complexes, déterminer z équation 4éme degré
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Jjulienfa dernière édition par
Bonjour,
l'exercice est le suivant : Déterminer z tel que : z^4-8(1+j)z²+63+16 j=0
On pose Z=z²
donc Z²-8(1+j)Z+63+16 j=0
Δ=(-8-8 j)²-4 x(63+16 j)
Δ=64-128 j-64-252-64 j
Δ=-252-192 j
(a+b j)²=-252-192 j
donc a²-b²+2 abj=-252-192 j
d'ou a²- b² =-252
2 ab=-192
a=-192÷2 b
a=-96⇒b²×=96÷b²-b²=-252×b²
C'est à dire : -96-b^4=-252 b²
d'ou : -b^4+252 b²-96=0On à des puissances paires,
donc, on pose X=b²
-X²+252X-96 = 0
D'ou Δ= 252² -4*(-1)*(-96)
→ Δ= 63504-384
→ Δ=63120
Merci d'avance de votre réponse.
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Il faut refaire tous tes calculs.
Le discriminant de Z²-8(1+j)Z+63+16j=0 est faux
Tu dois trouverΔ=-252+64j
Pour vérification, sauf erreur, je t'indique les solutions finales de l'équation du 4eˋme4^{ème}4eˋme degré proposée :
$\text{3+2j ; -3-2j ; -2+j ; 2-j$
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Jjulienfa dernière édition par
Bonsoir
Merci de votre réponse. j'ai refait mes calculs. J'ai encore une question. Comment faite vous pour trouver les solution finales? J'avais pense mettre au carré ou à la puissance 1/4 a et b mais je me suis rendu compte que c'était faux.
On pose Z=z²
donc Z²-8(1+j)Z+63+16 j=0
Δ=(-8-8 j)²-4 x(63+16 j)
Δ=64-128 j-64j²-252-64 j avec j²=-1
Δ=-252+64 j
(a+b j)²=-252+64 j
donc a²-b²+2 abj=-252+64 j
d'ou a²- b² =-252
2 ab=64
a=64÷2 b
a=32/b⇒b²×32÷b²-b²=-252×b²
C'est à dire : 32-b^4=-252 b²
d'ou : -b^4+252 b²+32=0On à des puissances paires,
donc, on pose X=b²
-X²+252X+32 = 0
D'ou Δ= 252² -4*(-1)*32
→ Δ= 63504+128
→ Δ=63632
Merci d'avance.
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mtschoon dernière édition par
Ces résultats sont encore faux !
Tu dois chercher a et b tels que (a+bj)2=−252+64j(a+bj)^2=-252+64j(a+bj)2=−252+64j
a2−b2+2abj=−252+64ja^2-b^2+2abj=-252+64ja2−b2+2abj=−252+64j
$\left{a^2-b^2=-252\2ab=64$
En résolvant ce système, tu dois trouver :
a=2 et b=16 ou a=-2 et b=-16Les racines carrées (complexes) de Δ sont donc 2+16j et -2-16j
Tu prends une de ces valeurs pour trouver Z1Z_1Z1 et Z2Z_2Z2 solutions de Z²-8(1+j)Z+63+16j=0
z1=8(1+j)−(2+16j)2=3−4j z2=8(1+j)+(2+16j)2=5+12jz_1=\frac{8(1+j)-(2+16j)}{2}=3-4j \ \ z_2=\frac{8(1+j)+(2+16j)}{2}=5+12jz1=28(1+j)−(2+16j)=3−4j z2=28(1+j)+(2+16j)=5+12j
Il te rets à résoudre :z2=3−4jz^2=3-4jz2=3−4j et z2=5+12jz^2=5+12jz2=5+12j
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Jjulienfa dernière édition par
Bonsoir,
Merci de votre réponse.
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
J'espère que tu as refait ton exercice avec soin et que tu es arrivé aux réponses proposées.
Bon travail !
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BBlack-Jack dernière édition par
Salut,
Petite astuce pour trouver les racines carrées d'un nombre complexe.
d² = -252 + 64j
d = (a+ib)
d² = a²-b²+2j.aba²-b² = -252 (1)
ab = 32 (2)Mais on a aussi : |d|² = |d²|
--> a² + b² = Racinecarrée((-252)²+64²) = 260a² + b² = 260 (3)
(1) + (3) --> 2a² = 8
a = +/- 2et remis dans (2) --> b = +/- 16
Les racines carrées de -254+64j sont : -2 - 16j et 2 + 16j
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mtschoon dernière édition par
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