Complexes, déterminer z équation 4éme degré



  • Bonjour,
    l'exercice est le suivant : Déterminer z tel que : z^4-8(1+j)z²+63+16 j=0
    On pose Z=z²
    donc Z²-8(1+j)Z+63+16 j=0
    Δ=(-8-8 j)²-4 x(63+16 j)
    Δ=64-128 j-64-252-64 j
    Δ=-252-192 j
    (a+b j)²=-252-192 j
    donc a²-b²+2 abj=-252-192 j
    d'ou a²- b² =-252
    2 ab=-192
    a=-192÷2 b
    a=-96⇒b²×=96÷b²-b²=-252×b²
    C'est à dire : -96-b^4=-252 b²
    d'ou : -b^4+252 b²-96=0

    On à des puissances paires,
    donc, on pose X=b²
    -X²+252X-96 = 0
    D'ou Δ= 252² -4*(-1)*(-96)
    → Δ= 63504-384
    → Δ=63120

    suite exercice
    Merci d'avance de votre réponse.


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Il faut refaire tous tes calculs.

    Le discriminant de Z²-8(1+j)Z+63+16j=0 est faux

    Tu dois trouverΔ=-252+64j

    Pour vérification, sauf erreur, je t'indique les solutions finales de l'équation du 4ème4^{ème} degré proposée :

    $\text{3+2j ; -3-2j ; -2+j ; 2-j$



  • Bonsoir

    Merci de votre réponse. j'ai refait mes calculs. J'ai encore une question. Comment faite vous pour trouver les solution finales? J'avais pense mettre au carré ou à la puissance 1/4 a et b mais je me suis rendu compte que c'était faux.

    On pose Z=z²
    donc Z²-8(1+j)Z+63+16 j=0
    Δ=(-8-8 j)²-4 x(63+16 j)
    Δ=64-128 j-64j²-252-64 j avec j²=-1
    Δ=-252+64 j
    (a+b j)²=-252+64 j
    donc a²-b²+2 abj=-252+64 j
    d'ou a²- b² =-252
    2 ab=64
    a=64÷2 b
    a=32/b⇒b²×32÷b²-b²=-252×b²
    C'est à dire : 32-b^4=-252 b²
    d'ou : -b^4+252 b²+32=0

    On à des puissances paires,
    donc, on pose X=b²
    -X²+252X+32 = 0
    D'ou Δ= 252² -4*(-1)*32
    → Δ= 63504+128
    → Δ=63632

    fichier math

    Merci d'avance.


  • Modérateurs

    Ces résultats sont encore faux !

    Tu dois chercher a et b tels que (a+bj)2=252+64j(a+bj)^2=-252+64j

    a2b2+2abj=252+64ja^2-b^2+2abj=-252+64j

    $\left{a^2-b^2=-252\2ab=64$

    En résolvant ce système, tu dois trouver :
    a=2 et b=16 ou a=-2 et b=-16

    Les racines carrées (complexes) de Δ sont donc 2+16j et -2-16j

    Tu prends une de ces valeurs pour trouver Z1Z_1 et Z2Z_2 solutions de Z²-8(1+j)Z+63+16j=0

    z1=8(1+j)(2+16j)2=34j  z2=8(1+j)+(2+16j)2=5+12jz_1=\frac{8(1+j)-(2+16j)}{2}=3-4j \ \ z_2=\frac{8(1+j)+(2+16j)}{2}=5+12j

    Il te rets à résoudre :z2=34jz^2=3-4j et z2=5+12jz^2=5+12j



  • Bonsoir,

    Merci de votre réponse.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    J'espère que tu as refait ton exercice avec soin et que tu es arrivé aux réponses proposées.

    Bon travail !



  • Salut,

    Petite astuce pour trouver les racines carrées d'un nombre complexe.

    d² = -252 + 64j

    d = (a+ib)
    d² = a²-b²+2j.ab

    a²-b² = -252 (1)
    ab = 32 (2)

    Mais on a aussi : |d|² = |d²|
    --> a² + b² = Racinecarrée((-252)²+64²) = 260

    a² + b² = 260 (3)

    (1) + (3) --> 2a² = 8
    a = +/- 2

    et remis dans (2) --> b = +/- 16

    Les racines carrées de -254+64j sont : -2 - 16j et 2 + 16j

    🆒


  • Modérateurs

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