Longueur minimale en fonction de ...



  • Bonjour
    Je suis en 1ère S et j’ai un dm de maths à faire cependant je bloque au dernier exercice, la dernière question. Voici l’énoncé:
    ABC est un triangle tel que AB=3, AC=4 et BC=5.
    M est un point du segment [BC].
    Les perpendiculaires en M aux côtés [AB] et [AC] coupent ses côtés respectivement en P et Q.
    Où peut-on placer le point M afin que la distance PQ soit minimale?

    1. Montrer que ABC est un triangle rectangle en A.
      On se place dans le repère (A; vecteur i, vecteur j) où vecteur i=1/3 du vecteur AB et vecteur j=1/4 du vecteur AC.
    2. Que peut-on dire de ce repère ? Réponse : repère orthonormé
    3. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC). Réponse : 4x+3y-12=0
      Soit M un point de (BC) de coordonnés (x;y) dans ce repère.
    4. a)déterminer les coordonnees de P et Q dans ce repère en fonction de x et y. Réponse : P(x;0) et Q(0;y)
      b)Que vaut la longueur PQ en fonction de x et y. Réponse : PQ= √x²+y²
      C) déterminer la longueur minimale de PQ et conclure sur la position du point M dans ce cas. -> c’est à cette question que je bloque. Je ne trouve pas 😰

    Merci d’avance pour votre aide !!!


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Tes réponses sont bonnes.

    Piste pour la 4)c)

    x et y sont les coordonnées de M, donc ils vérifient l'équation cartésienne de M : 4x+3y-12=0

    Tu peux exprimer y en fonction de x : y=43x+4y=-\frac{4}{3}x+4

    pq=x2+y2pq=\sqrt{x^2+y^2}

    Dans cette formule, tu remplaces y par 43x+4-\frac{4}{3}x+4

    Tu obtiens donc ainsi l'expression de PQ en fonction de x

    Tu élèves au carré pour "chasser" la racine carrée

    Tu obtiens donc ainsi l'expression de PQ² en fonction de x (fonction polynôme du second degré)

    Le minimum de PQ est aussi le minimum de PQ²que tu détermines.


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