Longueur minimale en fonction de ...

Bonjour
Je suis en 1ère S et j’ai un dm de maths à faire cependant je bloque au dernier exercice, la dernière question. Voici l’énoncé:
ABC est un triangle tel que AB=3, AC=4 et BC=5.
M est un point du segment [BC].
Les perpendiculaires en M aux côtés [AB] et [AC] coupent ses côtés respectivement en P et Q.
Où peut-on placer le point M afin que la distance PQ soit minimale?

Montrer que ABC est un triangle rectangle en A.
On se place dans le repère (A; vecteur i, vecteur j) où vecteur i=1/3 du vecteur AB et vecteur j=1/4 du vecteur AC.
Que peut-on dire de ce repère ? Réponse : repère orthonormé
Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC). Réponse : 4x+3y-12=0
Soit M un point de (BC) de coordonnés (x;y) dans ce repère.
a)déterminer les coordonnees de P et Q dans ce repère en fonction de x et y. Réponse : P(x;0) et Q(0;y)
b)Que vaut la longueur PQ en fonction de x et y. Réponse : PQ= √x²+y²
C) déterminer la longueur minimale de PQ et conclure sur la position du point M dans ce cas. -> c’est à cette question que je bloque. Je ne trouve pas

Merci d’avance pour votre aide !!!

Bonjour,

Tes réponses sont bonnes.

Piste pour la 4)c)

x et y sont les coordonnées de M, donc ils vérifient l'équation cartésienne de M : 4x+3y-12=0

Tu peux exprimer y en fonction de x : $y=−43x+4y=-\frac{4}{3}x+4$

$pq=x2+y2pq=\sqrt{x^2+y^2}$

Dans cette formule, tu remplaces y par $−43x+4-\frac{4}{3}x+4$

Tu obtiens donc ainsi l'expression de PQ en fonction de x

Tu élèves au carré pour "chasser" la racine carrée

Tu obtiens donc ainsi l'expression de PQ² en fonction de x (fonction polynôme du second degré)

Le minimum de PQ est aussi le minimum de PQ²que tu détermines.