Fonction logarithme x->ln[x+ rac(x²-1)]-ln(x)
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Ddsfgtujyhik dernière édition par
Bonjour
Je suis en terminale, et je bloque sur un exercice où il faut donner la variation de :
f : x→ln(x+√(x²-1))-ln(x)j'ai déjà trouvé sa dérivée :
∀x∈]1,+∞[, f'(x)=[1/(√(x²-1))]-(1/x)Mais j'arrive pas à déterminer le signe de la dérivée.
J'ai, bien sûr, essayé de résoudre une inéquation : f'(x)>0
Mais je finis toujours par tomber sur x/√(x²-1)>1, et, à partir de là, je suis bloquéMerci d'avance pour votre aide !
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mtschoon dernière édition par zipang
Bonjour,
Oui pour la dérivée
f′(x)=1x2−1−1xf'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} - \dfrac{1}{x}f′(x)=x2−11−x1
Piste pour trouver le signe,
En réduisant au même dénominateur
f′(x)=x−x2−1xx2−1f'(x) = \dfrac{x - \sqrt{x^2-1}}{x \sqrt{x^2-1}}f′(x)=xx2−1x−x2−1
xxx appartient à ]1,+∞[, donc x>0x \gt 0x>0
Le dénominateur de f′(x)f'(x)f′(x) est donc strictement positif
Il te reste à déterminer le signe du numérateur x−x2−1x-\sqrt{x^2-1}x−x2−1
Tu peux multiplier et diviser par la quantité conjuguée
x−x2−1=(x−x2−1)(x+x2−1)(x+x2−1)x-\sqrt{x^2-1}=\dfrac{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}{(x+\sqrt{x^2-1})}x−x2−1=(x+x2−1)(x−x2−1)(x+x2−1)
Tu calcules le numérateur (x−x2−1)(x+x2−1)(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})(x−x2−1)(x+x2−1)
(a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2(a−b)(a+b)=a2−b2 , et tu dois prouver facilement que cette expression est strictement positiveDonc : f′(x)>0f'(x) \gt 0f′(x)>0
Reposte si besoin.