Fonction logarithme x->ln[x+ rac(x²-1)]-ln(x)



  • Bonjour 🙂

    Je suis en terminale, et je bloque sur un exercice où il faut donner la variation de :
    f : x→ln(x+√(x²-1))-ln(x)

    j'ai déjà trouvé sa dérivée :
    ∀x∈]1,+∞[, f'(x)=[1/(√(x²-1))]-(1/x)

    Mais j'arrive pas à déterminer le signe de la dérivée.

    J'ai, bien sûr, essayé de résoudre une inéquation : f'(x)>0
    Mais je finis toujours par tomber sur x/√(x²-1)>1, et, à partir de là, je suis bloqué

    Merci d'avance pour votre aide !


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Oui pour la dérivée

    f(x)=1x211xf'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} - \dfrac{1}{x}

    Piste pour trouver le signe,

    En réduisant au même dénominateur

    f(x)=xx21xx21f'(x) = \dfrac{x - \sqrt{x^2-1}}{x \sqrt{x^2-1}}

    xx appartient à ]1,+∞[, donc x>0x \gt 0

    Le dénominateur de f(x)f'(x) est donc strictement positif

    Il te reste à déterminer le signe du numérateur xx21x-\sqrt{x^2-1}

    Tu peux multiplier et diviser par la quantité conjuguée

    xx21=(xx21)(x+x21)(x+x21)x-\sqrt{x^2-1}=\dfrac{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}{(x+\sqrt{x^2-1})}

    Tu calcules le numérateur (xx21)(x+x21)(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})
    (ab)(a+b)=a2b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2 , et tu dois prouver facilement que cette expression est strictement positive

    Donc : f(x)>0f'(x) \gt 0

    Reposte si besoin.


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