suites et fonction logarithme



  • Pour commencer bien le bonjour à tous!

    voici un exercice sur lequel je bloque, notamment puisque ma maîtrise des suites est assez limitée....

    f est la fonction définie sur ]1/2: +oo[ par f(x) = x²/2x -1

    1. Démontrer que si x plus grand que 1 alors f(x) plus grand que 1

    On définit la suite u par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, Un+1U_{n+1} = f(Un)

    1. On considère les suites v et w définies pour tout entier naturel n par:
      Vn = (Un -1)/ Un et Wn = lnVn

    a) expliquer pourquoi les termes Vn et Wn sont définis pour tout entier n
    b) Démontrer que la suite w est géométrique
    c) Exprimer Wn puis Vn en fonction de n
    d) En déduire que pour tout entier naturel n : Un = ((1/1(1/2)2n((1/1-(1/2)^{2n}))

    Si quelqu'un voulait bien me venir en aide merci d'avance

    Note Du Modérateur : N'oublie pas de fermer les balises d'exposant et d'indice la prochaine fois. 😉



  • Petite info pour la mise en page : lorsque tu met une balise "indice" , n'oublie pas de mettre ensuite une balise "fin d'indice" sans quoi la suite de ton message apparaît en tout petit...
    1- Il suffit de partir de x > 1 pour parvenir à x²/2x -1 >1 .
    C'est très simple grâce aux formules d'inéquations.
    2-a)Montre d'abord par récurrence que UnU_n est définie pour tout entier n. Sers toi du 1. Fais le même travail pour V et W.
    b)Calcule Wn+1W_{n+1} /Wn/W_n . Commence par ça et donne tes résultats. Voilà !



  • je ne vois pas comment démontrer par récurence que Un est définie pour tout entier....
    pour le b) en calculant Wn+1/Wn, jo'btiens
    ((ln(Un+1((ln(U_{n+1} 1)/(Un+1-1)/(U_{n+1} ))/((ln(Un))/((ln(U_n -1/Un))

    j'ai remplacé l'expression des Vn par celle de Un mais je ne vois pas comment poursuivre



  • Allons, allons, un peu de concentration...
    Tu sais que Uo = 2. Tu sais aussi que si x >= 1, alors f(x) >=1. Ainsi, puisque Uo >= 1, on aura f(Uo) >= 1 et tu sais que f(Uo) = U1, donc U1 >= 1...Il s'agit la d'un exemple, il faut generaliser au raisonnement par recurrence....
    Maintenant pour que Vn soit defini il faut et il suffit que Un le soit et que Un soit different de 0 car sinon (Un - 1)/Un n'est pas defini...
    Pour que Wn soit defini il faut et il suffit que Vn le soit et que Vn soit positive... c'est vite fait!!!
    Bonne chance.



  • MagicFalco
    en calculant Wn+1/Wn, jo'btiens
    ((ln(Un+1((ln(U_{n+1} 1)/(Un+1-1)/(U_{n+1} ))/((ln(Un))/((ln(U_n -1/Un))

    Ce que tu as écrit prête à confusion. Le ln prend compte Vn en entier, ln Vn = ln (Un1(U_{n-1} /Un/U_n ) ce qui ramène à une formule connue. Voilà !



  • désolé mais je ne comprends pas le résultat
    serait-il possible de détailler le calcul?
    meric beaucoup



  • tout est ok finalement merci pour votre aide


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