Exponentielle, logarithme



  • Bonjour à tous

    J'aurais besoin de votre aide sur un exo svp, car je suis complètement bloqué ! J'ai terminé la partie A, et certaines questions de la B. Merci d'avance !

    PARTIE A
    Soit f la fonction définie sur ]0; +inf/[ par :
    f(x) = [x ln(x)] / (x+1)

    ............

    PARTIE B

    On se propose d'étudier l'équation f(x) = n, où n est un entier naturel non nul.

    1°) Montrer que pour tout n cette équation admet une solution (alpha)n(alpha)_n et une seule (en particulier, (alpha)1(alpha)_1 = (alpha))

    [J'ai fini cette question]

    2°) Comparaison de (alpha)n(alpha)_n à ene^n

    a) Etablir que f(enf(e^n) <= n.
    En déduire que (alpha)n(alpha)_n >= ene^n

    b) Prouver que la relation f((alpha)nf((alpha)_n) = n peut s'écrire sous la forme :
    [1] ln[(alpha)ln[(alpha)_n/en/e^n] = n/(alpha)nn/(alpha)_n

    [J'ai fini cette question]

    En déduire, à l'aide de a) la limite de (alpha)(alpha)_n/en/e^n lorsque n tend vers l'infini.

    3°) Comparaison de (alpha)n(alpha)_n à [en[e^n+n]

    On écrit (alpha)n(alpha)_nsous la forme :
    [2] (alpha)n(alpha)_n = (en(e^n) (1+ (epsilon)n(epsilon)_n) où (epsilon)n(epsilon)_n >= 0.

    a) A l'aide de [1], exprimer (1+(epsilon)n(1+(epsilon)_n) ln(1+(epsilon)nln(1+(epsilon)_n) en fonction de n.

    [J'ai trouvé (1+(epsilon)n(1+(epsilon)_n) ln(1+(epsilon)nln(1+(epsilon)_n) = n/enn/e^n Est-ce correct ? ]

    b) Etablir que pour t >= 0 :
    0 <= (1+t) ln(1+t) - t <= t²/2

    c) Déduire de a) et de b) que pour tout n >= 1 :
    (epsilon)n(epsilon)_n <= n ene^{-n} <= (epsilon)n(epsilon)_n + ((epsilon)²n_n/2)

    puis que :
    [3] 0 <= n ene^{-n} - (epsilon)n(epsilon)_n <= (n²/2) e2ne^{-2n}

    d) A l'aide de [2] et [3], déterminer la limite de ene^n + n - (alpha)n(alpha)_n lorsque n tend vers +inf/



  • Salut,
    B. 2) a. On a : f(enf(e^n) = (n.ee^n)/(en)/(e^n+1) = n.(e(e^n/(en/(e^n+1)). Apres, tu peux montrer que ee^n/(en/(e^n+1) <= 1, et en multipliant cette derniere inegalite' par n, tu obtiens ce qu'on t'a demande'....
    Pour deduire que (alpha)n(alpha)_n >= ene^n, utilises la croissance de f (que t'as du obtenir dans la partie A `a mon avis).

    B. 2) b. En utilisant l'egalite [1], on a : (alpha)(alpha)_n/en/e^n = ee^{n/(alpha)_n$}$ et d'apres la question precedente, (alpha)n(alpha)_n >= ene^n. Compare alors n/(alpha)nn/(alpha)_n et n/enn/e^n, puis sachant la limite de n/enn/e^n, deduis celle de n/(alpha)nn/(alpha)_n (pour cela n'oublie pas que (alpha)n(alpha)_n >= ene^n et il te faudra utiliser le theoreme dit des gendarmes...) et par la même , celle de (alpha)(alpha)_n/en/e^n.

    1. a. C'est correct...
    2. b. Etudie les 2 fonctions g(x) = (1+x)ln(1+x)-x et h(x) = (1+x)ln(1+x)xx2(1+x)ln(1+x)-x-x^2/2, pour x >= 0. Tu montreras que pour tout x >= 0, g(x) >= 0 et h(x) <= 0.
      3.c et 3.d : ces questions decoulent facilement de 3.a. et 3.b.
      Bonne chance et fais signe si t'as un probleme.


  • Merci bcp pour ta réponse !
    J'ai pas encore tout fini, mais ça m'aide bcp !

    Bonne soirée, et encore merci 😄


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