Exponentielle, logarithme

Bonjour à tous

J'aurais besoin de votre aide sur un exo svp, car je suis complètement bloqué ! J'ai terminé la partie A, et certaines questions de la B. Merci d'avance !

PARTIE A
Soit f la fonction définie sur ]0; +inf/[ par :
f(x) = [x ln(x)] / (x+1)

............

PARTIE B

On se propose d'étudier l'équation f(x) = n, où n est un entier naturel non nul.

1°) Montrer que pour tout n cette équation admet une solution $alpha)_n$ et une seule (en particulier, $alpha)_1$ = (alpha))

[J'ai fini cette question]

2°) Comparaison de $alpha)_n$ à $e^n$

a) Etablir que $f(e^n$ ) <= n.
En déduire que $alpha)_n$ >= $e^n$

b) Prouver que la relation $f((alpha)_n$ ) = n peut s'écrire sous la forme :
[1] $l n [(a l p h a)$ _n $e^n$ ] = $n/(alpha)_n$

[J'ai fini cette question]

En déduire, à l'aide de a) la limite de $(a l p h a)$ _n $e^n$ lorsque n tend vers l'infini.

3°) Comparaison de $alpha)_n$ à $e^n$ +n]

On écrit $alpha)_n$ sous la forme :
[2] $alpha)_n$ = $e^n$ ) (1+ $epsilon)_n$ ) où $epsilon)_n$ >= 0.

a) A l'aide de [1], exprimer $1+(epsilon)_n$ ) $ln(1+(epsilon)_n$ ) en fonction de n.

[J'ai trouvé $1+(epsilon)_n$ ) $ln(1+(epsilon)_n$ ) = $n/e^n$ Est-ce correct ? ]

b) Etablir que pour t >= 0 :
0 <= (1+t) ln(1+t) - t <= t²/2

c) Déduire de a) et de b) que pour tout n >= 1 :
$epsilon)_n$ <= n $e^{-n}$ <= $epsilon)_n$ + ((epsilon)² $_n$ /2)

puis que :
[3] 0 <= n $e^{-n}$ - $epsilon)_n$ <= (n²/2) $e^{-2n}$

d) A l'aide de [2] et [3], déterminer la limite de $e^n$ + n - $alpha)_n$ lorsque n tend vers +inf/

Salut,
B. 2) a. On a : $f(e^n$ ) = (n. $e$ ^n $e^n$ +1) = n. $(e$ ^n $e^n$ +1)). Apres, tu peux montrer que $e$ ^n $e^n$ +1) <= 1, et en multipliant cette derniere inegalite' par n, tu obtiens ce qu'on t'a demande'....
Pour deduire que $alpha)_n$ >= $e^n$ , utilises la croissance de f (que t'as du obtenir dans la partie A `a mon avis).

B. 2) b. En utilisant l'egalite [1], on a : $(a l p h a)$ _n $e^n$ = $e$ ^{n/(alpha)_n$}$ et d'apres la question precedente, $alpha)_n$ >= $e^n$ . Compare alors $n/(alpha)_n$ et $n/e^n$ , puis sachant la limite de $n/e^n$ , deduis celle de $n/(alpha)_n$ (pour cela n'oublie pas que $alpha)_n$ >= $e^n$ et il te faudra utiliser le theoreme dit des gendarmes...) et par la même , celle de $(a l p h a)$ _n $e^n$ .

a. C'est correct...
b. Etudie les 2 fonctions g(x) = (1+x)ln(1+x)-x et h(x) = $1+x)ln(1+x)-x-x^2$ /2, pour x >= 0. Tu montreras que pour tout x >= 0, g(x) >= 0 et h(x) <= 0.
3.c et 3.d : ces questions decoulent facilement de 3.a. et 3.b.
Bonne chance et fais signe si t'as un probleme.

Merci bcp pour ta réponse !
J'ai pas encore tout fini, mais ça m'aide bcp !

Bonne soirée, et encore merci