démonstration géométrie : cela fait 2h que je réfléchis...

bonjour,
merci de m'aider... ça urge et ça fait 2h que je planche dessus!

voici le sujet :
ABCD est un carré et M un point de [BC] distinct de B et C . Le cercle C circonscrit au triangle AMC recoupe la droite (cd) en N . On note O le centre du cercle.

démontrer que [MN] est un diamètre de C .
en déduire que MÂN = 90°
là, je m'en suis sortie, je pense grace à l'hypothénuse et au diamètre
démontrer que AÔM = AÔN = 90°
en déduire que la droite (OA) est médiatrice du segment [MN]
c'est ici que se pose mon problème :
je vois bien que c'est un triangle isocèle mais comment le démontrer?
a l'aide des triangles isométriques, démontrer que BM = DN

cette partie parait assez évidente :ils ont tous les 2, 2 cotés égaux et un angle de même degré

"ça urge" : cocasse.

"ça fait 2h que je planche dessus !" : de quoi te plains-tu ? c'est jamais que des math. ...

Figure :

Comme ça on pourra faire l'exercice sereinement.

Pour la question 1, je dis ceci : l'angle MCN est droit ; les points M, C et N étant sur le cercle, le segment [MN] est nécessairement un diamètre (cf cours de 4e). Alors, MAN est droit par la réciproque du théorème précédent.
Tu avais obtenu ceci.

Pour la question 2, utilisons le théorème de l'angle au centre : interceptant le même arc AN, l'angle AON vaut le double de l'angle inscrit ACN, qui vaut 45°.
Alors AOM = 180° - AON et c'est ok.
Il en résulte que (OA) est médiatrice de [MN] comme perpendiculaire à ce segment en son milieu .

Pour la 3 : puisque (AO) est médiatrice de [MN], on a MA = AN.
D'autre part, AB = AD. Donc les triangles ABM et ADN sont isométriques, comme ayant deux côtés égaux et l'angle (droit) compris entre eux égal (2e cas d'isométrie).