devoir maison suites



  • On sait tous qu'il y a des années à coccinelles et d'autres sans.
    On se propose d'étudier l'évolution d'une population de coccinelles à l'aide d'un modèle utilisant la fonction numérique f définie par f(x)=kx(1-x), k étant un paramètre qui dépend de l'environnement(k app/ R).
    Dans le modèle choisi, on admet que le nombre de coccinelles reste inférieur à un million. L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus, est approché pour l'année n par un nombre réel unu_n , avec unu_n compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l'année zéro il y a 300 000 coccinelles, on prendra U0U_0 =0.3.
    On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation Un+1U_{n+1} =f(Un=f(U_n) , f étant la fonction définie ci-dessus.
    Le but de l'exercice est d'étudier le comportement de la suite (Un(U_n ) pour fifférentes valeurs de la population U0U_0 et du paramètre k.

    1)Démontrer que si la suite (Un(U_n ) converge, alors sa limite l vérifie la relation f(l)=l.

    Ca on la fait en cours cé bon je lai trouvé

    2)Supposons que U0U_0 =0.4 et k=1
    (a)étudier le sens de variation de la suite (Un(U_n)

    ce qu'il faut faire cé démontrer qu'elle est croisssante je pense dis moi si cé sa et pour le démontrer il faut prouver que le rang suivant Un+1U_{n+1} est plus grand que UnU_n
    Je demande car je préfezre ne pas me tromper
    merci pour les réponses
    lily


  • Modérateurs

    Salut.

    Tiens, c'est le même devoir que j'avais fait en TS! Et mon prof m'avait enlevé 2 points parce que ma dernière courbe était pas jolie :frowning2: .

    Etudie uu_{n+1}un-u_n. Et n'oublie pas de remplacer k par 1.

    Ne t'inquiète si elle décroit au fait. 😉

    @+



  • merci pour la réponse mais komen on pe connaître le point à partir duquelle la courbe decroit

    jeet-chris : nous le prof nous a fourni les courbes de tous les cas.

    merci

    a +
    lily


  • Modérateurs

    Salut.

    Dans le cas précité, (un(u_n) décroît à partir du rang 0. L'étude de uu_{n+1}un-u_n ne dépendait pas de n, donc tu as démontré en 2.a) que (un(u_n) était décroissante pout tout n.

    Comme je suis sûr que j'ai compris ta question de travers, précise un peu de quelle courbe tu parles, et sous quelles conditions.

    En ce qui concerne les tracés que tu dis avoir, regarde la question 4) si tu en as une. Tu comprendras qu'il faut tracer quelques trucs.

    @+



  • Salut,

    1. je te rappelle la définition :

    Une suite unu_n de termes appartenant à R est convergente si sa limite en +inf/ est finie.
    C'est-à-dire si :
    lim unu_n = l avec lapp/R
    $^{n->+inf/}$

    C'est bien une application directe du cours... 😉



  • merci comme sa je vais pouvoir comencer



  • Donc si j'ai bien compris pour étudier le sens de variation, il faut définir si un est croissante ou non comme l'a expliqué jeet-chris donc faire Un+1U_{n+1} Un-U_n .
    Après on a U0U_0 =4 donc on peut mettre sa sur le tableau et cé bon

    puis pour la question (b) : montrer par récurrence que'pour tout entier n, 0 <= unu_n <= 1
    Il faut le montrer pour le rang 0 puis il faut supposer que cé vrai pour UnU_n et chercher Un+1U_{n+1} dis moi si cé sa
    merci



  • Pour etudier le sens de variation de UnU_n, tu peux essayer de trouver directement $lim_{n->$inf/}UnU_n comme le suggere madvin. Ceci te sera presque impossible etant donné que tu ne connais pas UnU_n en fonction de n. L'autre methode est celle que propose Jeet-Chris. Tu evalues UU_{n+1}Un-U_n. Et tu cherches à savoir quand est ce que cette quantité est positive, negative ou nulle. Tu parles dans ton message precedent d'un certain tableau, je ne vois pas trop ce que ca vient chercher un tableau dedans, c'est un tableau de quoi au fait ?

    Pour le b./ c'est bien le principe de raisonnement par reccurence :

    • tu montres que 0 <= U0U_0 <= 1
    • tu supposes que 0 <= UnU_n <= 1
    • Tu montres ensuite que 0 <= Un+1U_{n+1} <= 1.


  • je pensais au tableau de variations
    merci



  • Non le tableau de variations n'a pas de place ici. Ca n'est valable que pour des fonctions (et continues en plus sur l'intervalle consideré) . Une suite n'est pas uen fonction (et encore moins une fonction continue).



  • et pour montrer que f(l)=l comment je fais car je comprend pas je n'ai que Un+1U_{n+1}
    Alors je ne dois pas faire de tableau de variation mais juste étudier le signe.
    merci



  • La fonction f est continue, non ? donc on sait que $lim_{x -> a}$ f(x) = f(a). C'est la propriété essentielle ici.

    Ici, on a d'une part, $lim_{n -> + inf/}$ un+1u_{n+1} = l = $lim_{n -> + inf/}$ unu_n.

    D'autre part, $lim_{n -> + inf/}$ f(unf(u_n) = f(l), par la propriété de continuité rappelée ci-dessus.

    Maintenant, sachant que pour tout n, on a un+1u_{n+1} = f(unf(u_n), il est clair que cette égalité subsiste à la limite, lorsque n -> + inf/.

    Ainsi, on a bien l = f(l).



  • Merci pour vos réponses maintenant j'ai fait les 3/4 de mon dm en comprenant tout je suis trop contente.
    Maintenant cé juste une dernière question: est ce que je dois justifier ,quand je fais un tableau de variation, des limites aux bornes?
    merci encore
    lize



  • Tu veux parler du tableau de variation d'une fonction ? Alors, le tableau de variation complet doit faire figurer les limites... mais note que parfois une limite ne peut être déterminée qu'après plusieurs questions intermédiaires, et pas toujours immédiatement après un calcul de dérivée.



  • oui pour une des question cé la fonction et une autre question est sur une suite donc pour la suite je peux pas mais pour la fonction défini je pe
    et pour trouver la limite quand U0U_0 =0.3 et k=1.8
    on fait komen car en cherchant f(l)=l je trouve (sqrtsqrt3.96)/1.8
    est ce que c'est sa?
    merci
    lily



  • D'abord trois détails (qui n'en sont pas) :
    "cé" = c'est ; "komen" = comment ; "sa" = ça.

    Ensuite : avec ta fonction f, de coefficient k = 1,8
    1,8 x (1 - x) = x equiv/ x (0,8 - 1,8 x) = 0 equiv/ x = 0 ou x = 4/9, non ?


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