vecteurs, repère de l'espace, équation



  • Bonjour ou bonsoir, ceci est un devoir à la maison que j'ai à faire ce week-end et j'ai quelques problemes :
    Soit (O^\rightarrow ; i^\rightarrow ;j^\rightarrow ; k^\rightarrow ) un repere carthésien de l'espace, on considere l'ensemble E des points M (x ; y ; z) dont les coordonnées vérifient l'équation x - 2y + 3z - 5 = 0
    A) premiere partie
    Soit A(7;1;0) B(5;0;0) et C(2;0;1) trois points de l'espace

    1. placer les trois points dans un repere ( j'arrive à faire cette question)
    2. verifier que A, B, C appartiennent à l'ensemble E (j'arrive à faire cette question)
    3. démontere que les points A, B et C déterminent un plan qui sera noté P ( je n'arrive pas à faire cette question) 😕
      B) deuxieme partie que je n'arrive pas à faire
    4. calculer les coordonnées du vecteur BM^\rightarrow en fonction de y et z
    5. en déduire l'écriture de BM^\rightarrow comme une combinaison linéaire des vecteurs BA^\rightarrow et BC^\rightarrow
    6. Que peut on en conclure ?
      C) troisieme partie que je n'arrive pas à faire
    7. on considère dans cette question un point M (x;y;z) de l'espace et on suppose que M appartient à P. Démontrer que les coordonnées de M vérifient l'équation
      x - 2y + 3z = 0
    8. Que peut-on en conclure pour l'ensemble E ?

    un grand merci à vous



  • L'adjectif "cartésien" vient de Descartes - c'est qui encore çui-là ? - et pas de Carthage. C'est pour cela qu'on ne l'écrit surtout pas "carthésien"...

    Pour la question 3 de la première partie, il suffit de prouver que les points A, B et C ne sont pas alignés, c'est-à-dire que les vecteurs AB^\rightarrow et AC^\rightarrow par exemple, ne sont pas colinéaires.



  • merci Zauctore pour avoir répondu à la A) 3
    pouvez-vous aussi m'aider pour les autres questions ? (qui me semblent beaucoup plus complexe)
    merci beaucoup



  • B) 1)
    Pour ne pas avoir de x dans les coordonnées de BM^\rightarrow, il te faut utiliser la relation entre x, y et z. Dis ce que tu obtiens.



  • BMBM^\rightarrow (xm(x_m xb-x_b ; ym - yb ; zm - zb)
    jarrive à trouvé xm- xb = 2y - 3z mais je n'arrive pas à trouver ym - yb et zm - zb
    (b et m sont des indices)
    merci de m'aider c'est trés sympathique



  • Je t'en prie.

    On a B(5 ; 0 ; 0) et M(x = 5 + 2y - 3z ; y ; z)

    Les vecteurs OB^\rightarrow et OM^\rightarrow ont les mêmes coordonnées que B et M.

    Or, BM^\rightarrow = OM^\rightarrow - OB^\rightarrow d'après la relation de Chasles ;

    donc BM^\rightarrow(2y - 3z ; y ; z) par différence.



  • Pour ne pas t'inquiéter : ce que j'ai écrit à la 4e ligne équivaut à ton calcul
    BMBM^\rightarrow(xM(x_M - xBx_B ; yMy_M - yBy_B ; zMz_M - zBz_B).



  • merci Zauctore, à l'instant ou j'ai vu ton avant derniere réponse j'ai trouvé la réponse!! Merci pour ces pistes qui m'aident à trouver les réponses.
    Pourais tu me donner des pistes pour les questions suivantes ??
    Merci 😄 :razz:



  • As-tu les coordonnées des vecteurs BA^\rightarrow et BC^\rightarrow mentionnés à la 2) ?



  • BABA^\rightarrow ( 2 ; 1 ; 0 )
    BCBC^\rightarrow ( -3 ; 0 ; 1 )
    BMBM^\rightarrow ( 2y - 3z ; y ; z )
    pour que BMBM^\rightarrow soit une combinaison linéaire de BABA^\rightarrow et BCBC^\rightarrow il faut que yBMy_{BM} soit égale à yy{BA^\rightarrow$ }$ + yy{BC^\rightarrow$ }$ donc y BM = 1
    par le meme raisonnemant z BM = 1
    et donc x bm = 2-3= -1
    Zauctore est-ce la bonne réponse ??
    B) 3) que peut on en conclure ?? BMBM^\rightarrow BABA^\rightarrow et BCBC^\rightarrow sont coplanaires
    merci de répondre



  • Pour la combinaison linéaire, tu ne prends pas le bon chemin.
    On dit que c^\rightarrow est combinaison linéaire de a^\rightarrow et de b^\rightarrow lorsqu'on peut trouver deux nombres u et v tels que c^\rightarrow = u a^\rightarrow + v b^\rightarrow.

    La combinaison qui me saute aux yeux est
    BM^\rightarrow = y BA^\rightarrow + z BC^\rightarrow

    Coplanaires : ok.



  • La combinaison qui me saute aux yeux est
    BM^\rightarrow = y BA^\rightarrow + z BC^\rightarrow

    merci pour cette correction, mais comment je fais pour montrer que BM^\rightarrow = y BA^\rightarrow + z BC^\rightarrow??
    MERCI Zauctore



  • Observe que y BA^\rightarrow a pour coordonnées (2y ; y ; 0).

    De même z BC^\rightarrow (-3z ; 0 ; z).

    C'est clair après ça.



  • Alors donc, dans la partie B), si l'on résume, tu as montré que tout point M(x ; y ; z) tel que x - 2y + 3z = 5 est itué dans le plan (ABC).

    L'objectif de la partie C) en est la réciproque.



  • je suis désolé Zauctore, je n'arrive pas à rédigé corectement la réponse à la question précédente dans laquelle on doit déduire l'écriture de BM^\rightarrow comme une combinaison linéaire de BA^\rightarrow et BC^\rightarrow : je vous explique mes difficultés :
    je sait que BM^\rightarrow = yBA^\rightarrow + zBC^\rightarrow et qu'il faut que j'utilise les coordonnées des vecteurs BA et BC mais je ne sait pa comment rédigé cette réponse. Pour vous cela parait évidement 😉 mais pour moi ... :frowning2:
    Merci pour cette aide



  • En revenant aux vecteurs-unités...

    BM^\rightarrow = (2y - 3z) i^\rightarrow + y j^\rightarrow + z k^\rightarrow
    = (2y i^\rightarrow + y j^\rightarrow) + (-3z i^\rightarrow + z k^\rightarrow)
    = y(2 i^\rightarrow + j^\rightarrow) + z(-3 i^\rightarrow + k^\rightarrow)
    = y BA^\rightarrow + z BC^\rightarrow

    C'est tout : BM^\rightarrow est égal à y BA^\rightarrow + z BC^\rightarrow.



  • Pour la partie C) : dire que M(x ; y ; z) est dans le plan (ABC) signifie que les vecteurs BM^\rightarrow, BA^\rightarrow et BC^\rightarrow sont non-indépendants, donc qu'il existe une combinaison linéaire de la forme BM^\rightarrow = u BA^\rightarrow + v BC^\rightarrow, où u et v sont deux réels. Il suffit de traduire ceci en termes de coordonnées pour répondre aux dernières questions. Je te laisse là-dessus ; @+ et courage !



  • merci beaucoup zauctore, ce n'est qu'un dm mais sincerement merci beaucoup. bonne soirée @+



  • Zauctore, c'est encore moi, il y avait une faute dans l'avant derniere question, j'avais essayé de la faire mais je n'y était pa arrivé, je l'ai di à mon prof de maths et finalement je dois rendre mon dm demain
    C- Troisième partie

    1. on considère dans cette question un pojnt M (x;y;z) de l'espace et on suppose que M app/ P
      démontrer que les coordonnées de M vérifient l'équetion x - 2y + 3z - 5 = 0
      Que peut on en conclure pour l'ensemble E?
      Nous sommes beaucoup de ma classe à ne pa avoir su répondre à cette question, ton aide nous est trés importante.
      Merci beaucoup


  • zauctore aide nous s'il-te-plais



  • je sais que tu n'a pa que ca à faire mais nous avons vraiment du mal à répondres à cette question meme avec les pistes que tu m'a donné. Merci pour ta compréhension



  • Salut.

    Dire que M est dans le plan (ABC) signifie que l'on peut trouver des paramètres u, v tels que AM^\rightarrow = u AB^\rightarrow + v AC^\rightarrow.
    Mais, on a AM^\rightarrow (x - 7 ; y - 1 ; z), AB^\rightarrow (-2 ; -1 ; 0) et AC^\rightarrow (-5 ; -1 ; 1). On traduit ceci en termes de coordonnées :
    x - 7 = -2u -5v
    y - 1 = -u -v
    z = v.
    Substituant, on a
    x - 7 = -2u -5z
    y - 1 = -u -z
    et donc u = -y -z + 1.
    D'où enfin, x - 7 = -2(-y -z + 1) -5z et en développant-réduisant, on doit trouver la relation attendue.



  • zaucore nous te suplions !!! notre attitude n'est pa trés honorable mais c'est la seule solution, merci beaucoup!!!!! et c'est cool les vecteurs non ??



  • merci beaucoup c'est trés sympa je travaille dessu et je te di si je trouve. Merci


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