vecteurs, repère de l'espace, équation

Bonjour ou bonsoir, ceci est un devoir à la maison que j'ai à faire ce week-end et j'ai quelques problemes :
Soit (O $→^\rightarrow$ ; i $→^\rightarrow$ ;j $→^\rightarrow$ ; k $→^\rightarrow$ ) un repere carthésien de l'espace, on considere l'ensemble E des points M (x ; y ; z) dont les coordonnées vérifient l'équation x - 2y + 3z - 5 = 0
A) premiere partie
Soit A(7;1;0) B(5;0;0) et C(2;0;1) trois points de l'espace

placer les trois points dans un repere ( j'arrive à faire cette question)
verifier que A, B, C appartiennent à l'ensemble E (j'arrive à faire cette question)
démontere que les points A, B et C déterminent un plan qui sera noté P ( je n'arrive pas à faire cette question)
B) deuxieme partie que je n'arrive pas à faire
calculer les coordonnées du vecteur BM $→^\rightarrow$ en fonction de y et z
en déduire l'écriture de BM $→^\rightarrow$ comme une combinaison linéaire des vecteurs BA $→^\rightarrow$ et BC $→^\rightarrow$
Que peut on en conclure ?
C) troisieme partie que je n'arrive pas à faire
on considère dans cette question un point M (x;y;z) de l'espace et on suppose que M appartient à P. Démontrer que les coordonnées de M vérifient l'équation
x - 2y + 3z = 0
Que peut-on en conclure pour l'ensemble E ?

un grand merci à vous

L'adjectif "cartésien" vient de Descartes - c'est qui encore çui-là ? - et pas de Carthage. C'est pour cela qu'on ne l'écrit surtout pas "carthésien"...

Pour la question 3 de la première partie, il suffit de prouver que les points A, B et C ne sont pas alignés, c'est-à-dire que les vecteurs AB $→^\rightarrow$ et AC $→^\rightarrow$ par exemple, ne sont pas colinéaires.

merci Zauctore pour avoir répondu à la A) 3
pouvez-vous aussi m'aider pour les autres questions ? (qui me semblent beaucoup plus complexe)
merci beaucoup

B) 1)
Pour ne pas avoir de x dans les coordonnées de BM $→^\rightarrow$ , il te faut utiliser la relation entre x, y et z. Dis ce que tu obtiens.

$BM→BM^\rightarrow$ $x_m$ $x_b$ ; ym - yb ; zm - zb)
jarrive à trouvé xm- xb = 2y - 3z mais je n'arrive pas à trouver ym - yb et zm - zb
(b et m sont des indices)
merci de m'aider c'est trés sympathique

Je t'en prie.

On a B(5 ; 0 ; 0) et M(x = 5 + 2y - 3z ; y ; z)

Les vecteurs OB $→^\rightarrow$ et OM $→^\rightarrow$ ont les mêmes coordonnées que B et M.

Or, BM $→^\rightarrow$ = OM $→^\rightarrow$ - OB $→^\rightarrow$ d'après la relation de Chasles ;

donc BM $→^\rightarrow$ (2y - 3z ; y ; z) par différence.

Pour ne pas t'inquiéter : ce que j'ai écrit à la 4e ligne équivaut à ton calcul
$B M$ ^\rightarrow $x_M$ - $x_B$ ; $y_M$ - $y_B$ ; $z_M$ - $z_B$ ).

merci Zauctore, à l'instant ou j'ai vu ton avant derniere réponse j'ai trouvé la réponse!! Merci pour ces pistes qui m'aident à trouver les réponses.
Pourais tu me donner des pistes pour les questions suivantes ??
Merci :razz:

As-tu les coordonnées des vecteurs BA $→^\rightarrow$ et BC $→^\rightarrow$ mentionnés à la 2) ?

$BA→BA^\rightarrow$ ( 2 ; 1 ; 0 )
$BC→BC^\rightarrow$ ( -3 ; 0 ; 1 )
$BM→BM^\rightarrow$ ( 2y - 3z ; y ; z )
pour que $BM→BM^\rightarrow$ soit une combinaison linéaire de $BA→BA^\rightarrow$ et $BC→BC^\rightarrow$ il faut que $y_{BM}$ soit égale à $y$ {BA^\rightarrow$ }$ + $y$ {BC^\rightarrow$ }$ donc y BM = 1
par le meme raisonnemant z BM = 1
et donc x bm = 2-3= -1
Zauctore est-ce la bonne réponse ??
B) 3) que peut on en conclure ?? $BM→BM^\rightarrow$ $BA→BA^\rightarrow$ et $BC→BC^\rightarrow$ sont coplanaires
merci de répondre

Pour la combinaison linéaire, tu ne prends pas le bon chemin.
On dit que c $→^\rightarrow$ est combinaison linéaire de a $→^\rightarrow$ et de b $→^\rightarrow$ lorsqu'on peut trouver deux nombres u et v tels que c $→^\rightarrow$ = u a $→^\rightarrow$ + v b $→^\rightarrow$ .

La combinaison qui me saute aux yeux est
BM $→^\rightarrow$ = y BA $→^\rightarrow$ + z BC $→^\rightarrow$

Coplanaires : ok.

La combinaison qui me saute aux yeux est
BM $→^\rightarrow$ = y BA $→^\rightarrow$ + z BC $→^\rightarrow$

merci pour cette correction, mais comment je fais pour montrer que BM $→^\rightarrow$ = y BA $→^\rightarrow$ + z BC $→^\rightarrow$ ??
MERCI Zauctore

Observe que y BA $→^\rightarrow$ a pour coordonnées (2y ; y ; 0).

De même z BC $→^\rightarrow$ (-3z ; 0 ; z).

C'est clair après ça.

Alors donc, dans la partie B), si l'on résume, tu as montré que tout point M(x ; y ; z) tel que x - 2y + 3z = 5 est itué dans le plan (ABC).

L'objectif de la partie C) en est la réciproque.

je suis désolé Zauctore, je n'arrive pas à rédigé corectement la réponse à la question précédente dans laquelle on doit déduire l'écriture de BM $→^\rightarrow$ comme une combinaison linéaire de BA $→^\rightarrow$ et BC $→^\rightarrow$ : je vous explique mes difficultés :
je sait que BM $→^\rightarrow$ = yBA $→^\rightarrow$ + zBC $→^\rightarrow$ et qu'il faut que j'utilise les coordonnées des vecteurs BA et BC mais je ne sait pa comment rédigé cette réponse. Pour vous cela parait évidement mais pour moi ... :frowning2:
Merci pour cette aide

En revenant aux vecteurs-unités...

BM $→^\rightarrow$ = (2y - 3z) i $→^\rightarrow$ + y j $→^\rightarrow$ + z k $→^\rightarrow$
= (2y i $→^\rightarrow$ + y j $→^\rightarrow$ ) + (-3z i $→^\rightarrow$ + z k $→^\rightarrow$ )
= y(2 i $→^\rightarrow$ + j $→^\rightarrow$ ) + z(-3 i $→^\rightarrow$ + k $→^\rightarrow$ )
= y BA $→^\rightarrow$ + z BC $→^\rightarrow$

C'est tout : BM $→^\rightarrow$ est égal à y BA $→^\rightarrow$ + z BC $→^\rightarrow$ .

Pour la partie C) : dire que M(x ; y ; z) est dans le plan (ABC) signifie que les vecteurs BM $→^\rightarrow$ , BA $→^\rightarrow$ et BC $→^\rightarrow$ sont non-indépendants, donc qu'il existe une combinaison linéaire de la forme BM $→^\rightarrow$ = u BA $→^\rightarrow$ + v BC $→^\rightarrow$ , où u et v sont deux réels. Il suffit de traduire ceci en termes de coordonnées pour répondre aux dernières questions. Je te laisse là-dessus ; @+ et courage !

merci beaucoup zauctore, ce n'est qu'un dm mais sincerement merci beaucoup. bonne soirée @+

Zauctore, c'est encore moi, il y avait une faute dans l'avant derniere question, j'avais essayé de la faire mais je n'y était pa arrivé, je l'ai di à mon prof de maths et finalement je dois rendre mon dm demain
C- Troisième partie

on considère dans cette question un pojnt M (x;y;z) de l'espace et on suppose que M app/ P
démontrer que les coordonnées de M vérifient l'équetion x - 2y + 3z - 5 = 0
Que peut on en conclure pour l'ensemble E?
Nous sommes beaucoup de ma classe à ne pa avoir su répondre à cette question, ton aide nous est trés importante.
Merci beaucoup

zauctore aide nous s'il-te-plais

je sais que tu n'a pa que ca à faire mais nous avons vraiment du mal à répondres à cette question meme avec les pistes que tu m'a donné. Merci pour ta compréhension

Salut.

Dire que M est dans le plan (ABC) signifie que l'on peut trouver des paramètres u, v tels que AM $→^\rightarrow$ = u AB $→^\rightarrow$ + v AC $→^\rightarrow$ .
Mais, on a AM $→^\rightarrow$ (x - 7 ; y - 1 ; z), AB $→^\rightarrow$ (-2 ; -1 ; 0) et AC $→^\rightarrow$ (-5 ; -1 ; 1). On traduit ceci en termes de coordonnées :
x - 7 = -2u -5v
y - 1 = -u -v
z = v.
Substituant, on a
x - 7 = -2u -5z
y - 1 = -u -z
et donc u = -y -z + 1.
D'où enfin, x - 7 = -2(-y -z + 1) -5z et en développant-réduisant, on doit trouver la relation attendue.

zaucore nous te suplions !!! notre attitude n'est pa trés honorable mais c'est la seule solution, merci beaucoup!!!!! et c'est cool les vecteurs non ??

merci beaucoup c'est trés sympa je travaille dessu et je te di si je trouve. Merci