point de la courbe y=ln(x) le plus proche de l'origine

Bonjour !
J'aimerai voir comment vous faites pour trouver le point de la courbe representative de la fonction ln(x) le plus proche d'O l'origine du repère orthonormal (O,i,j).
(pour voir la solution la plus courte)
(equation de cercle, nombres complexes ?)
Merci

Bonjour,

Si ta question était posée de façon plus précise, on pourrait peut-être te répondre.

Parce que là je ne comprends pas ce que tu demandes.

A plus tard

On note (C) la courbe repésentative de la fonction logarithme népérien, dans un repère (O,i,j) orthonormal.
Quel est le point C le plus proche de O ?

Voila je souhaiterais voir la solution la plus rapide repondant a ce problème. Est ce que c'est en utilisant les equations de cercles, les nombres complexes, ou autre chose ?
J'espère que j'ai été plus claire

je modifie : Quel est le point de C le plus proche de O (origine du repère)

(et non pas quel est le point C)
désolé :frowning2:

La distance entre un point de la courbe représentaive de f et le point O est égal à OM

avec O(0;0) et M(x;f(x))

donc OM = $s q r t$ ((x-0)^2 + (f(x)-0)^2) = $s q r t$ (x^2 + f(x)^2)

Donc pour touver le ninimum de OM il faut étudier la fonction qui à x associe

g(x) = OM = $s q r t$ (x^2 + f(x)^2) et trouver si cette fonction g admet un minimum (en calculant sa dérivée et en étudiant son sens de variatio)

merci
en fait je demande pas vraiment la reponse
juste la technique la plus rapide
mais c'est sur que pour donner la technique on est un peu obligé de donner la repone

tu étudies donc la fonction g(x) = OM

donc tu donnes
le domaine de définition de g
la dérivée de g
le sens de variation de g en fonction du signe de g'(x)
et tu trouve si la fonction g admet un minimum ou non

Et puis c'est tout

le minimum est solution positive de x² + ln (x) = 0
Je resous cette equation par ballayage succéssif ?

Non tu dérives et tu étudies le sens de variation de g(x) = OM (voir mon mesage d'hier 16h26)

faisable en Ter S

oui mais ma dérivée c'est x + (ln x)/x

en fin je vx dire le signe de ma dérivée est du signe de x + (ln x)/x

cela m'étonnerait parce que si

g(x) = $s q r t$ u(x) alors g'(x) = u'(x) / 2 $s q r t$ u(x)

à toi de continuer

ma dérivée est égale à (2x + (2ln x)/x) / (2 $s q r t$ (x² + (ln x)²)
donc elle est du signe de x + ln(x)/x
d'où la nécessité de resoudre x² + ln (x) = 0
donc ma question reste :"est ce qu'il faut utliser le ballayage succésif pour reoudre cette équation ?"

@lematheur
Je viens de tomber sur cette discussion ce qui est assez marrant en vue de son ancienneté, elle a effectivement eu lieu avant même ma naissance, mais plus sérieusement je tiens à y répondre pour les futurs curieux qui tomberont dessus comme moi, premièrement tes calculs n’aboutissaient pas car ta dérivée n’était pas correcte. En effet en posant la fonction h tel que h(x) = (x+ln(x))/(sqrt(x^2 + ln(x)^2) tu tombes sur h’(x)= (x+ln(x)^2 -ln(x) -xln(x))/ (sqrt(x^2 +ln(x) ) x (x^2 +ln(x)^2) pour étudier les variations tu remarques que le dénominateur est positif et tu poses la fonction g(x) = x+ln(x)^2 -ln(x) -xln(x) à savoir ton numérateur. En étudiant maintenant ta fonction g tu vois qu’elle s’annule en e, c’est alors l’extrémum de ta fonction h et ln(e) vaut 1 ainsi le point cherché est de coordonnés (1; ln(1)) donc (1:0)

@Perelman-dx a dit dans point de la courbe y=ln(x) le plus proche de l'origine :

@lematheur
Je viens de tomber sur cette discussion ce qui est assez marrant en vue de son ancienneté, elle a effectivement eu lieu avant même ma naissance, mais plus sérieusement je tiens à y répondre pour les futurs curieux qui tomberont dessus comme moi, premièrement tes calculs n’aboutissaient pas car ta dérivée n’était pas correcte. En effet en posant la fonction h tel que h(x) = (x+ln(x))/(sqrt(x^2 + ln(x)^2) tu tombes sur h’(x)= (x+ln(x)^2 -ln(x) -xln(x))/ (sqrt(x^2 +ln(x) ) x (x^2 +ln(x)^2) pour étudier les variations tu remarques que le dénominateur est positif et tu poses la fonction g(x) = x+ln(x)^2 -ln(x) -xln(x) à savoir ton numérateur. En étudiant maintenant ta fonction g tu vois qu’elle s’annule en e, c’est alors l’extrémum de ta fonction h et ln(e) vaut 1 ainsi le point cherché est de coordonnés (1; ln(1)) donc (1:0)

Bonjour,

Es-tu bien sûr de tes résultats ?

Si je choisis, au hasard , le point P d'abscisse 0,652219 de la courbe représentant f(x) = ln(x), on a P(0,652219 ; ln(0,652219))

OP² = 0,652219² + ln²(0,652219) = 0,6080389...

et |OP| = 0,7797... qui est < 1

Bon allez je me lance.
Pour tout point M de la courbe, le carré de la distance OM s'exprime par :
$O M ² = x ² + (l n (x)) ²$
Comme minimiser la distance OM revient à minimiser la distance OM², on pose :
$f (x) = x ² + (l n (x)) ²$
La fonction tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini et idem quand x tend vers 0. Etant continue, elle admet un minimum qui peut être déterminé en calculant la dérivée de la fonction f.
$f^{'} (x) = 2 x + 2 l n (x) * 1 / x$
On cherche donc x tel que $f^{'} (x) = 0$ soit :
$2 x + 2 l n (x) * 1 / x = 0$
ou encore :
$2 x ² + 2 l n (x) = 0$ et finalement $x ² + l n (x) = 0$

Se pose alors la question de savoir résoudre cette équation. On a successivement :
$x ² = - l n (x)$
$x ² = l n (1 / x)$
$1 / x ² . l n (1 / x) = 1$
$l n (1 / x) e x p (l n (1 / x ²)) = 1$
$l n (1 / x) e x p (2 l n (1 / x)) = 1$
$2 l n (1 / x) e x p (2 l n (1 / x) = 2$
Finalement, en utilisant la fonction de Lambert, on obtient :
$W (2 l n (1 / x) e x p (2 l n (1 / x)) = W (2)$
Soit : $2 l n (1 / x) = W (2)$
$l n (1 / x) = 1 / 2 W (2)$
$l n (x) = - 1 / 2 W (2)$
$x = e x p (- 1 / 2 W (2))$

Ce qui au final nous donne une valeur approchée de x = 0.65356.
Maintenant, cela nécessite de connaître la fonction de Lambert ce qui n'est sans doute pas au programme de Terminale.

Et pour finir de répondre à la question, il reste à calculer la valeur minimale de la distance, soit :
$OM_m = sqrt(x² + (ln(x))²)$ avec $x = 0.65356$ , ce qui donne : $OM_m= 0.7797$