Déterminer si la courbe d'une fonction ln est un arc de cercle

bonsoir comment allez vous? moi j'ai un probleme ouvert que ma prof nous as donner et j'aimerais que vous essayez de le faire! je n'ai as réussi lol

est ce que la courbe de fonction f(x)= ln(x) * ln(1-x) est un arc de cercle?

voila mdrrrr!! bon courage
si jamais vous trouvez la réponse dite la moi mdrr mais c'est complqué

Salut,

la courbe de la fonction f est un arc de cercle si et seulement si il existe un unique point C tel que pour tout point M de cette courbe, la distance CM est constante.

Cela revient donc à démontrer la propriété :

qqsoit/ M(x;f(x)), qqsoit/ M'(x';f(x')), exist/? C(a;b) unique tel que MC = M'C ?

Je ne suis pas sûr si démontrer l'unicité est nécessaire.

merci! moi je trouve se sujet assez marrant! mais ce n'est pas un DM!! car c assez dur! et j'aimerais bien le démontrer!jespere que qqn pourras me renseigner davantage!
mais comment démontrer ce que tu viens de me dire?

Ben j'en sais rien, je sais même pas si avec cette méthode c'est démontrable !! :razz:

personne n'as d'idée alors,???

Une idée en l'air que je n'ai pas commencé à exploiter

soit M(x ; f(x)) si une partie de la courbe est un arc de cercle on doit trouver C(a ; b) tel que CM = constante ou $CM^2$ = constante

il faudrait étudier la fonction F(x) = (x - $a)^2$ + (f(x) - $b)^2$

qui doit être constante donc sa dérivée nulle ....

Mais on ne va pas tomber sur un polynôme donc on ne pourra pas dire que les coefficients de l'expression sont nuls ..... Donc peut-être pas si bonne que ça l'idée !!!

mdrrr ok! comment la prof crois t elle qu'on peux trouver alors que personne ne trouve ici!!! loool

Ben on cherche encore... :razz:

Tu as réussi à faire le tableau de variations déjà ?

Bon déjà on peut démontrer facilement que la courbe représentatrice de f a pour axe de symétrie l'équation y = 1/2, et que sa tangente au point d'abscisse 1/2 est horizontale.
Faudrait avoir le tableau de variations ici pour montrer que f(1/2) est un maximum.

Donc déjà si cette courbe est un arc de cercle, alors le centre de ce cercle doit forcément se trouver sur la droite d'équation y=1/2.

Ensuite pour trouver l'ordonnée éventuelle de ce cercle, il faut prendre 2 points de la courbe : par exemple A(1/2;f(1/2)) et B(1/4;f(1/4)).
Le centre éventuel de ce cercle est C(1/2;b).

Donc il faut que :
AC = BC

or AC = |b - f(1/2)|
et BC = $s q r t$ [(1/4)² + (|b - f(1/4)|)²] = $s q r t$ [(1/4)² + (b - f(1/4))²]

on résoud l'équation AC = BC et on trouve :

b = [ (1/16) + [f(1/4)]² - [f(1/2)]² ] / [2 * ( f(1/4) - f(1/2) ) ]

Donc si la courbe est un arc de cercle, son centre doit être le point C( 1/2 ; [ (1/16) + [f(1/4)]² - [f(1/2)]² ] / [2 * ( f(1/4) - f(1/2) ) ] ).
Je note a = 1/2 et b = [ (1/16) + [f(1/4)]² - [f(1/2)]² ] / [2 * ( f(1/4) - f(1/2) ) ].

Faudrait maintenant savoir si la distance de tout point de la courbe par rapport à C est constante et égale à |b - f(1/2)| = f(1/2) - b. (car b<0 et f(1/2) >0 (faire le dessin pour mieux piger )

Tout d'abord faudrait chercher un contre-exemple : prenons par exemple le point d'abscisse 1/8. Est-ce que la distance de ce point à C est égale à f(1/2) - b ?? Si ce n'est pas le cas, alors la courbe n'est pas un arc de cercle.

Si on ne trouve pas de contre-exemple, faudrait alors démontrer que tout point de la courbe est à une distance de f(1/2) - b de C. Ou alors appliquer la méthode de Zorro en remplacant le a et le b par leur valeur.

Houla c'est bien compliqué tout ca !!!
Mon raisonnement vous paraît-il juste ?

Sinon je trouve que l'idée de Zorro est très bonne, mais fallait avoir les coordonnées éventuelles du centre a et b. Chose que l'on sait avec ma méthode.

Une autre idée qui m'est venue...

Soit une tangente quelconque de la courbe. Je trace la droite perpendiculaire à cette tangente et passant par le point d'intersection de cette tangente avec la courbe.

La courbe est un arc de cercle si et seulement si pour toutes les tangentes, les droites perpendiculaires décrites ci-dessus se croisent en un point unique qui est alors le centre du cercle.

La courbe de la fonction est symétrique autour de x=1/2 sur ]0 ; 1[.

La dérivée tend vers inf/ aux bornes, non ?

Donc si la courbe était un arc de cercle, alors [0 ; 1] en serait un diamètre, n'est-ce pas ?

Or f(1/2) diff/ 1/2...

Donc la courbe de f n'est pas un arc de cercle.

Qu'en pensez-vous ?

Tu es sûr que la dérivée tend vers l'infini aux bornes ? Parce qu'en regardant la courbe sur ma calculatrice, on dirait pas que les tangentes soient verticales aux bornes...

salut, qu'est-ce qu vous pensez de dire que effectivement, la dérivée tend vers l'infinie aux bornes. Ainsi, si la courbe est un arc de cercle, alors ]O;1[ serait un diamètre. Par ailleurs, cette courbe est un arc de cercle si, et seulement si, pour tout point M de cette courbe, on a AB²=AM²+MB². ( avec A et B les extrémités du diamètre trouvé)
or après calcul, on trouve que AM² + MB² n'est pas constant.
Par conséquent, AM² + MB² est différent de AB².
On peut alors conclure que la courbe n'est pas un arc de cercle.

Mad:
La dérivée de ln(x) * ln(1-x) est
ln(1-x)/x - lnx/(1-x).

d'une par lnx/(1-x) tend vers -inf/ lorsque x tend vers 0+ ;
d'autre part, ln(1-x)/x tend vers -1 lorsque x tend vers O+.
T'es d'accord ?

Mathsforever:
Raisonnersur le centre de ]0 ; 1[ permet d'éviter le calcul affreuxde AM² + MB².

Ok....

Oui en effet Zauctore a encore une fois de plus raison. Bravo !

Madvin : Des droites verticales sont considérées comme ayant inf/ pour coefficient directeur

Et moi depuis le début j'ai mal lu le sujet .... j'avais lu "une partie de la courbe" donc je ne raisonnais pas sur tout l'intervalle ]0 ; 1[ et je cherchais s'il y avait un sous-intervalle où ça marche .....
Une fois de plus il faut suivre le bon conseil qu'on distille régulièrement : lire attentivement le sujet et plutôt 2 fois qu'une !!!!!

Remercions kevin59760 d'avoir apporté cet énoncé déconcertant.

mais de rien c'est normal!!! je vois qu'il y a eu une vrai recherche!! mais maintenant de plus en plus souvent au bac il y a des probleme ouvert!!! merci a vous

bonjour jai besoin d'un petit service!!!! pourrais vous m'envoyer un dessin justement de cette courbe abec plusieurs de c tangente suivi de leur perpendiculaire pour bien montrer qu'elle ne se coupent pas en un point merci de me repondre au plus vite merci!!!!

Fais-le toi-même, en téléchargeant Edugraphe (vois dans la rubirque "logiciels").

Une figure sur laquelle les normales (en vert) à la courbe (en rouge) ont des coefficients directeurs approchés au centième près... donc l'intersection de celles-ci est indicative pour le moins !

merci beaucoup

Le choix des points, presque symétriques (donc peu pertinent) est lié à deux choses :

les limites du logiciel (un peu) ;
mes propres limites dans son utilisation (beaucoup).
On fera peut-être mieux plus tard.
@+

Il me semble que vous vous cassez bien la tête pour pas grand chose...

J'ai pas envie de faire tous les calculs, mais ceci devrait suffire à démontrer:
On cherche intuitivement le centre du cercle: j'ai trouvé (1/2 ; ln(2) ^2 - 1)
On pose la tanslation t : IR^2 -> IR^2 : (x,y) -> (x+1/2 , y +1 - ln(2)^2 )
On pose g = t o f
c'est à dire g(x) = ln(x+1/2)*ln(1/2-x)+1-ln(2)^2
Et essayons de montrer que g(x) = $s q r t$ 1-x^2)

(je passe les développements)
En posant
q = ln(x+1/2)*ln(x-1/2)
h = ln(2)^2
On en arrive à devoir prouver que
q^2+h^2+2q-2h-2qh+x^2 = 0

Je suppose qu'apres quelques calculs ch*** ca doit marcher...

Mr. Duche

oui, c'est sûr que c'est plus simple !

moi j'ai pas tré bien compris comment il as fais???? puis je avoir les details car la j'ai perdu en cours de route mdrrr