espace



  • Soit ABCDEFGH un cube de 1cm d'arête et S un point situé à l'intérieur de ce cube et distinct du centre du cube. On note J le projeté orthogonal du point S sur le plan (ABC) et on pose SJ = d. Les droite (SA), (SB), (SC), et (SD) coupent respectivement le plan (EFG) aux points A' , B' , C', D' .

    1. On désigne par h l'homothétie de centre S qui transforme A en A'.
      Quelle est l'image du plan (ABC) par h? En déduire les images des points A, B, C et D par h.

    2. Démontrer que les droites (AC'), (BD'), (CA') et (DB') sont concourantes en un point que l'on notera I.

    3. On suppose que S est placé de telle manière que les points A', B', C' et D' appartiennent à la face EFGH.
      Démontrer que le volume V du tronc de pyramide ABCDC'D'A'B' est :
      V = (d² - d + 1) / (3d²)

    La véritable question problématique est la question 3. Il est interdit pour l'exercice d'utiliser le théorème de la pyramide tronquée...
    Merci de toute aide.


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