Dérivation: Problème ouvert :-(

Bonjour à tous!
J'ai un gros problème je dois résoudre 2 rpoblèmes ouverts, or je n'ai jamais fait ça...

Le 1er:
Existe-t-il des fonctions polynômes f et g telles que (fg)' = f' foi/ g' ?

Le 2eme:
f est une fonction paire dérivable sur un intervalle I. Que pensez vous de la parité de la fonction dérivée f' ?

Je me doute bien que je dois expliquer avec précision ma démarche, même si elle n'a pas abouti et je pense que je peux émettre une conjecture qu'il me faut justifier ensuite.

J'aimerai bcp que vous m'aidiez, car en plus je ne démarre pas, pour aucun des problèmes...
Merci d'avance...
Bonnes fin de vacances aux chanceux...
Agathe

J'ai trouvé (engros) pr le moment ça:

2eme : elle est impaire

car si on dérive la relation f(-x) = f(x)
on obtient -f'(-x) = f'(x) (dérivée d'une composée)

la dérivée d'une fonction paire est impaire et vice-versa

1er : avec un petit raisonnement sur les degré des polynômes

notons n le degré de f et m le degré de g
(n=0 pour un polynôme constant, n=1 pour ax etc.) si ces polynômes ne sont pas nuls

ensuite on verifie facilement que le degré d'un produit de polynôme est la somme de degré.

le degré de f' est n-1
le degré de g' est m-1
donc le degré de f'*g' est ...

et d'autre part le degré de (fg)' est (m+n) -1

mais je me suis embrouillée...
Aidez moi svp...

Et le degré de f '.g' est (n - 1)+(m - 1) ?

Supposons qu'il existe P et Q deux polynôme de degré m et n tels que : (PQ)'=P'Q'
on a :
d°PQ=m+n
d°P'=m-1
d°Q'=n-1
donc d°(P'xQ')=(m-1)+(n-1)
et d°((PQ)')=m+n-1

d'où (m-1)+(n-1)=m+n-1
c'est à dire -2=-1
Conclusion ?

oublié, merci.

Je ne comprends plus rien du tout...
Aidez moi...

C'est un raisonnement par l'absurde.

Suppose que deux tels polynômes f et g existent... alors avec les notations précédentes tu serais logiquement mené à m+n-1 = m+n-2, qui est manifestement impossible.

La supposition initiale est donc intenable.

On en conclue donc que pour le 1er ça n'existe pas et que pr le 2ème elle est impaire ?

Pour le premier, on ne peut pas dire que si f ou g est la fonction nulle alors ca marche ?
ex :
f(x) = 0
(fg)(x) = 0
impl/ (fg)'(x) = 0

Or f'(x) * g'(x) = 0

EDIT : A moins que justement la fonction nulle ne soit pas une fonction polynôme

Oui : on n'a pas envisagé les cas triviaux ci-dessus : on n'a considéré que le cas des polynômes de degré >= 1. La fonction nulle x -> 0 est un cas particulier de fonction polynôme.

Merci beaucoup de m'avoir aidé

Comment fait on pour trouver le degré de (fg)' ???
Aidez moi
Merci

Agat

Si fg est un polynôme de degré m+n, alors le polynôme dérivé (fg)' aura pour degré n+m-1 comme tu l'as écrit à 16:20, le 20/02. Sauf si f ou g est le polynôme nul, auquel cas le polynôme dérivé est de degré 0, comme fg.

Je m'introduit en disant peut etre une betise, mais le degre d'un polynome qui est nul c'est -inf/ ?

Il y a une convention disant que le polynôme nul n'a pas de degré, ou que c'est - inf/, c'est vrai. On n'a sans doute pas besoin de cette subtilité ici (1ère) : le polynôme x -> Cste est de degré 0.

Je dit ça car dans ce cas il existe en effet un polynome qui suit cette relation car :
-inf/ +m-1 = -inf/ +m-2
Et ça ne se ramene pas à une equation absurde avec -1=-2
Donc les polynomes constants sont en accord avec la relation
(fg)' = f'g'

GF
Donc les polynomes constants sont en accord avec la relation
(fg)' = f'g'.
Non :
Si P = 1, alors P' = 0. Si Q = x, alors (PQ)' = 1 tandis que P'Q' = 0.

Rq : le genre d'arithmétique "des infinis" que tu mentionnes est inapproprié ici.