dérivation avec cos²

[looping72]

Bonjour ; voici l'exo :

f(x) = 4cos²(x)-1
on étudie cette fonction sur [-$pi$ ; $pi$ ]

1)Montrer que f'(x)=-8cos(x)sin(x) pour tout x élément [-$pi$;$pi$ ]
2) A l'aide des tableaux de signes relatif aux fonctions cos et sinus, en déduire le signe de la dérivée et les valeurs qui l'annulent sur [-$pi$;$pi$]

voilà je bloque à ces questions.
Merci de votre aide .

[Zauctore]

Tu peux essayer de faire le calcul de dérivée, quand même.

Personne ici ne fera le travail à ta place.
Par contre on veut bien t'aider et/ou corriger tes erreurs.

[nelly]

Salut!

Admettons que tu ne saches pas faire la dérivée de f, tu peux toujours, dans la 2ème question, supposer que tu admets le résultat qui t'es donné en question1(c'est d'ailleurs pour cela qu'on te le donne...au cas où...et pour voir la "motivation" de l'élève pour faire son travail!)

Pour la 1:
voilà pour commencer un formulaire de dérivation

ici
et pour dériver f, si tu as du mal avec le "cos²", tu peux toujours linéariser f ( ie l'écrire de manière équivalente mais sans la puissance "²"
Cette formule te dit quelque chose : cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2
tu peux la trouver (parmi bien d'autres) : ici

Voilà!
Déjà, ça devrait aller mieux!
N'hésites pas à revenir si tu as d'autres soucis!
Biz

[looping72]

Désolé mais cette forlmule ne me dit rien !!
Je n'arrive toujours pas à comprendre comment on trouve
f'(x) = -8cos(x)sin(x)
moi j'aurais juste trouvé -8sin(x) ?

[Zauctore]

Une démarche :
la dérivée de cos x est - sinx ;
celle de y² est 2y'y (y = y(x), y² est une fonction composée : le carré appliqué à y, légérement hors programme en 1re S).
Ainsi la dérivée de (cos x)² est donc 2(- sin x)(cos x).
On trouve donc bien -8 cos x sin x.

La démarche de Nelly permet d'éviter la formule de dérivation des fonction composées ;
pour justifier la transformation qu'elle fait, voici :
on part de (cos x)² - (sin x)² = cos (2x),
formule archi-connue...
On en déduit (cos x)² = cos (2x) + (sin x)².
Or, on connaît la formule fondamentale
(cos x)² + (sin x)² = 1,
donc on a (sin x)² = 1 - (cos x)².
Alors on a enfin (cos x)² = cos (2x) + 1 - (cos x)²,
c'est-à-dire 2 (cos x)² = cos (2x) + 1,
et ainsi (cos x)² = [cos (2x) + 1] / 2.
C'est tout, et c'est à connaître sur le bout des doigts.

L'avantage est que tu as appris à dériver des fonctions comme x -> cos (2x) cette année...

[looping72]

Merci beaucoup pour ton aide !!!
Pour la deuxième question, où je pourrais trouver un tableau des signes relatif des fonctions cos et sinus ?

[Zauctore]

Tu vas le faire toi-même au moyen des représentations graphiques que je te donne ci-dessous (clique sur l'image pour agrandir)

Je suppose que tu sauras trouver les abscisses des points d'intersection de chaque courbe avec l'axe des abscisses, justement.

[looping72]

Mais pour le signe comment je fais ? Car quelques fois quand une courbe est négative, l'autre est positive ? Et pour les abscisses je bloque un peu .... Cos et sinus ce n'est vraiment pas mon fort !!
Je vois en gros ce qu'elles valent mais ça va être très approximatif !

[SimCas31]

Avec un tableau de signe de ta dérivée, en écrivant les signes respectifs du cos et du sin en fonction de x, tu peux en déduire le signe de la dérivées (formule mémotechnique les amis de mes amis sont mes amis et les ennemis de mes ennemis sont mes amis: ++=+;--=+)

A partir de là tu peux en déduire les variation de ta fonction 4cos²(x)-1

[Zauctore]

Un élève de 1ere S doit savoir que

a) sin x = 0, pour x = ..., -3$pi$, -2$pi$, -$pi$, 0, $pi$, 2$pi$, 3$pi$, 4$pi$, ...

b) cos x = 0, pour x = ..., -3$pi$/2, -$pi$, -$pi$/2, $pi$/2, $pi$, 3$pi$/2, 2$pi$, ...

c) sin x = cos x, pour x = ...,-3$pi$/4, $pi$/4, 5$pi$/4...

[SimCas31]

Choses qui peuvent être facilement retrouvées avec le cercle trigonométrique vu fin seconde/début première. Cela évite de s'encombrer l'esprit et c'est très rapide si l'on sait que le cos est sur le diamètre horizontal et le sin sur le diamètre vertical.

[looping72]

D'accord merci donc f' s'annule en -$pi$, 0, $pi$ ainsi qu'en -$pi$/2 et $pi$/2 ? Et je dirais que le signe de cette fonction est positif ?

[Zauctore]

Oui, oui, SimCas31. Je ne suis pas tout-à-fait d'accord avec l'encombrement que tu mentionnes. Passons.

looping27
Tu veux dire "toujours positif" ?
Raisonne par sous-intervalles sur [-$pi$ ; $pi$].
Il y en a sur lesquels cos x et sin x n'ont pas le même signe, donc où leur produit est négatif... Fais un tableau de signes, comme SimCas31 te le dis 4 messages plus haut.

[looping72]

D'accord, alors j'ai fait un tableau de signe et je trouve :
de -$pi$ à -$pi$/2 : f'(x) est négatif
de -$pi$/2 à 0 : f'(x) est positif
de 0 à $pi$/2 : f'(x) est négatif
de $pi$/2 à $pi$ : f'(x) est positif
est-ce que je me suis trompée dans ce tableau ? merci

Et les x sur lesquels s'annulent f'(x) sont t-ils les bons ?

[looping72]

Mais une dérivé c'est normalement une droite non ? Donc ça ne doit pas être cela la réponse ?

[Zauctore]

looping72
Mais une dérivé c'est normalement une droite non ?
Tu dois absolument relire ton cours : il y a urgence.

[looping72]

non, ce n'est pas obligatoirement une droite. Mais est-ce que ce que j'ai trouvé est juste ? Ca me semble bizar ....