démontrer une égalité trigonométrique

[Yohann]

Salut a tout le monde, voila j'ai un petit souci, si vous pourriez m'aider cela serait sympa de votre part, voici l'exercice :

Il faut démontrer que qqsoit/ x appartient a |R privé de $pi$/2 :
1 / tan(2x) = ( 1 - tan²(x)) / ( 2 tan(x))

Merci de m'aider à débuter le problème ou à m'en faire une petite partie.

[mala]

bonjour,
Pense que tu peux partir dans les 2 sens
soit de 1/tan(2x)
ou (1-tan.....

Pense a utiliser un formulaire de trigo
tan(x)=sin(x)/cos(x)
cos(2x)=...
sin(2x)=...

si tu parts de ( 1 - tan²(x)) / ( 2 tan(x))

tu peux multiplier par cos^2 x au numérateur et au dénominateur
Bon courage.

[pumagirl]

salut! je pense que le mieux est de traiter les deux membres séparément et de montrer qu'ils sont égaux.

d'abord quelques formules de trigo qui vont t'aider a justifier:
cos²(x)=(1+cos(2x))/2 donc cos(2x)=2cos²(x) -1
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
cos²(x)+sin²(x)=1 donc cos²(x)=1-sin²(x)
tan(x)=sin(x)/cos(x)

1/(tan(2x))=1/(sin(2x)/cos(2x))=cos(2x)/sin(2x)
=(2cos²(x)-1)/(2sin(x)cos(x))
=(2cos²(x)-cos²(x)-sin(2x))/(2sin(x)cos(x))
=(cos²(x)-sin²(x))/(2sin(x)cos(x))

(1-tan²(x))/(2tan(x))=(1-sin²(x)/cos²(x))/(2sin(x)/cos(x))
=((cos²(x)-sin²(x))/cos²(x))/(2sin(x)/cos(x))
=(cos²(x)-sin²(x))/(2sin(x)cos(x))
donc on trouve l'égalité
pumagirl

[Yohann]

Merci a vous deux pour m'avoir aider, c'est gentil de votre part !!