suite



  • Bonjours, ceci est un problème sur les suites numériques, qui me laisse très perplexe. Merci d'avance pour tout aide.

    On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par:
    uo = 0
    u(n+1) = (3u(n) + 1) / 4

    et v0 = 2
    v(n+1) = (3v(n) + 1 ) / 4

    1. Calculer u1, u2, u3 d'une part et v1, v2, v3 d'autre part.

    2. a) On consière la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n par
      sn = un + vn.
      Calculer s0, s1, s2, s3.
      A partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite (sn)?
      b) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite (sn) est une suite constante.

    3. On considère la suite (dn) définie pour tout entier naturel n par
      dn = vn - un.
      a) Montrer que la suite (dn) est géométrique.
      b) Donner dn en fonction de n.

    4. En uitilisant 2) et 3), donner un et vn en fonction de n.

    5. Montrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes.
      Précisers leurs limites



  • pour la pemière question c'est pas difficile, pour la quetion 2);
    Sn+1=Un+1+Vn+1=(3/4Un+1/4)+(3/4Vn+1)=3/4(Vn+Un)+1/2=3/4Sn+1/2.

    les valeurs de S0,S1,S2 et S3 sont identiques et valent 2,

    alors il s'agit de montrer que Sn est une suite constante , on a à prouver que:
    Sn+1-Sn=0 implique Sn=constante =2,
    d'apres la relation obtenue Sn+1-Sn=3/4Sn+1/2-Sn=0 soit -1/4Sn=-1/2
    soit pour tout n appartenant à N Sn=2.

    montrons que dn = vn - un est une suite geometrique:

    Dn+1=-Un+1+Vn+1=3/4(-Un+Vn)=3/4Dn, donc Dn est bien une suite géometrique de raison q=3/4 et de premier terme D0=Vo=2

    d'ou l'expression de Dn=2(3/4)^n.

    donc Dn=2(3/4)^n=Vn-Un
    et Sn=2=Un+Vn forme un syteme d'equation à 2 inconnues en Vn et Un

    en additionnant membre à membre tu obtiens 2Vn=2(1+(3/4)^n) soit
    Vn=(1+(3/4)^n)

    et Vn=(1-(3/4)^n)


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