demonstration par recurrence



  • bonjour j'ai un petit problème je bloque dans ma demonstration par recurrence:
    voici l'enoncé
    (theta) est un réel de l'intervalle ]0;pipi/2[ la suite unu_{n } est définie par u0u_0 =2cos(theta) et pour tout entier naturel n: un+1u_{n+1} = $$sqrt$(2+u_n$ )
    calculer u1u_1 et u2u_2
    cettte question c'est bon
    démontrer par recurrence que unu_n =2cos((theta)/2n=2cos((theta)/2^n )
    pour l'initialisation j'ai dit que pour u0 c'est vrai
    puis j'ai supposé que pour tout n c'est vrai. Montrons que cela est vrai a l'ordre n+1:
    un+1u_{n+1} = $$sqrt$(2+2cos((theta)/2^n$ ))= sqrtsqrt(2*(1+cos ((theta)/2n((theta)/2^n ))
    apres je n'arrive pas à transformer cela et à arriver a un+1u_{n+1} =2cos((theta)/2n+1=2cos((theta)/2^{n+1} )

    on me donne comme aide et je m'en suis servie pour la premiere question qur:
    1+cos2a=2cos²a
    merci d'avance!!



  • En fait, l'aide serait plutôt ici de considérer 1 + cos a = 2 cos² (a/2),
    où tu prends a = (theta)/(2n(theta)/(2^n)



  • je sais je m'en suis servie sous cette forme pour la premiere question mais je n'arrive pas quand meme a poursuivre ma demonstration



  • fabulous
    u_{n+1}$ = $$sqrt$(2+2cos((theta)/2^n))=))= sqrt(2(1+cos(2*(1+cos ((theta)/2^n$))
    sqrtsqrt(2*(1+cos ((theta)/2n((theta)/2^n)) = sqrtsqrt(2(1 + cos (
    2(theta)/2n+1(theta)/2^{n+1}))

    Là, tu appliques la formule 1 + cos 2a.



  • merci c'est bon j'ai trouvé!


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