Histoire de "n"



  • Bonjour,

    J'ai eu l'exercice ci dessous à un contrôle et j'aimerai être en état de le corriger si le profeseur m'interroge lorsqu'on le corrigera...
    Je vous met l'énoncé:
    Soit n un entier naturel non fixé.
    Démontrer que pour tout réel x positif ou nul: (1+x)n(1+x)^n >= nx
    (indication:vous pouvez utiliser les variations d'une fonction bien choisie)

    Je pense qu'il faut que j'étudie la fonction:
    f(x)=(1+x)nf(x)=(1+x)^n -1-nx ,je pourrais donc résoudre mon inéquation en regardant les valeurs pour lesquelles elle (f) est supérieur à 0.

    Mon problème:je ne vois pas comment étudier une fonction avec un indice "n".

    Je vous remercie par avance!



  • Bonjour,
    L'idée dans cette situation c'est de visualiser n comme étant un nombre fixé
    [ ex :si n=2
    [ f(x) devient f(x)=(1+x)^2-2x-1
    [ et f'(x)=2(1+x)^(2-1)-2
    [ (remarque:(u^k)'=ku'u^(k-1) et ici u(x)=1+x et u'(x)=1) ]

    si on garde n comme lettre :

    f(x)=(1+x)^n-nx-1

    f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n=n[(1+x)^(n-1)-1]

    Or pour tout x positif
    on a 1+x>=1 donc (1+x)^n>=1 et (1+x)^(n-1)-1>=0
    d'où f'(x)>=0
    donc f est croissante pour x>=0 et f(0)=-1
    donc (1+x)^n-nx-1>=-1
    c'est à dire (1+x)^n>=nx pour x>=0



  • Merci!
    J'explorerai cette piste demain parce que la je m'endo 😊 stguherigh(s'écrasant sur son clavier)...


 

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