exercice sur les suites:besoin de vérification



  • bonjour j'ai un soucis sur un exo sur les suite je vais vous montrer l'énoncé et je vous montrerai ce que j'ai su faire pour qui vous suiviez ma demarche. j'espère que vous pourrez me verifier merci d'avance! bon courage

    les suites (un(u_n ) et (vn(v_n ) sont définies par u0u_0 =-1 , v0v_0 =2 et pour tout entier n :
    un+1u_{n+1} =(un=(u_n +vn+v_n )/2 et vn+1v_{n+1} =(un=(u_n +4vn+4v_n )/5

    1.a démontrer par récurrence que pour tout n, unu_n <vnv_n

    a l'initialisation j'ai mis que u0<v0
    heredité: on suppose que unu_n vn-v_n <0 et on montre que c'est vrai à l'ordre n+1. je suis parvenue a repondre.

    b.demontrer que les suites sont adjacentes.
    j'ai d'abord fait un+1u_{n+1} un-u_n j'ai trouvé que c'est >0 donc elle est croissante
    ensuite vn+1v_{n+1} vn-v_n j'ai trouver que c'est <0 donc elle est décroissante
    pour la limite en j'ai posé wnw_n =un=u_n vn-v_n
    donc wn+1w_{n+1} =3/10 (un(u_n vn-v_n )
    c'est une suite géométrique donc wnw_n =(3/10)n=(3/10)^n *-3
    comme 0<3/10<1 alors la lim en +inf/ est 0
    d'où elles sont adjacentes

    1. Trouvez deux réels distincts a et b tels que les suites (sn(s_n ) et (tn(t_n ) définies pour tout n par : sns_n =(un=(u_n +avn+av_n et tnt_n =un=u_n +bvn+bv_n soient géométriques (éventuellement constantes)

    alors mes calculs
    sn+1s_{n+1} =un+1=u_{n+1} +avn+1+av_{n+1}
    je remplace et je développe puis je factorise j'obtiens
    sn+1s_{n+1} =(5+2a)/10</em>un=(5+2a)/10</em>u_n + (5+8a)/10 vnv_n
    or sn+1s_{n+1} =ksn=ks_n (géometrique)
    donc sn+1s_{n+1} =k(un=k(u_n +avn+av_n )
    on a donc :
    (5+2a)/10</em>un(5+2a)/10</em>u_n + (5+8a)/10 vnv_n = kunku_n +akvn+akv_n
    par identification on obtient un système:
    k=(5+2a)/10
    ka=(5+8a)/10
    en resolvant ce système on trouve 2 solutions soit a1=-1 soit a2=5/2
    j'ai donc dit que a=-1 et b=5/2
    est ce les bons résultats? :s

    3.Exprimer sns_n et tnt_n en fonction de n** sns_n = unu_n vn-v_n
    on remplace et on trouve sn+1s_{n+1} = 3/10 (un(u_n vn-v_n)
    on a donc une suite géométrique
    donc sns_n = (3/10)n(3/10)^n *-3 = (3n+1-(3^{n+1} )/10n)/10^n

    **tnt_n = unu_n +5/2vn+5/2v_n
    je trouve tn+1t_{n+1} = tnt_n
    donc tnt_n = 1n1^n t0*t_0 = 4

    trouvez la limite des suites (un(u_n) et vnv_n
    la lim de vnv_n = 4
    la lim de unu_n = 0
    (déja faite a la kestion 1.b)
    est ce que cela est juste??

    merci



  • je me suis totalemen tromper a la derniere kestion lol je n'avais pas vu que c'était les suite de départ...j'ai beoin d'aide je suis perdue


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