Résolution d'équations dans le plan complexe

[xav54]

5Bonjour, j'ai quelques question de mon dm qui porte sur les complexes et pour certaines d'entre elle j'ai besoin d'aide.

Énoncé:

1. on considère le complexe suivant : $z=(x+iy{)}^2$
   a) déterminer une condition portant sur x ou y équivalente à z est un réel.
   b) déterminer une condition portant sur x ou y équivalente à z est un imaginaire pur.

2. On considère le complexe suivant : $z=(iy{)}^n$
   Démonter que z est un imaginaire pur si et seulement si n est impair.

Pour la question 1.a), je trouve que z est réel si x=0 ou si y=0.
Mais pour la question b je tombe sur quelquechose de la forme $x$^2$+y^2$ =0 en utilisant la relation z est un imaginaire pur equiv/ la somme de z et de son conjugué est nulle. Je vois vraiment pas comment aller plus loin.

Pour la question 2 j'ai pensé a un raisonnement par l'absurde es-ce possible?

Merci d'avance !

Xav54

[mathsforever]

z=(x+iy)²=x²+2xy-y²
Ainsi pour la b tu devrai avoir x²-y² = 0 equiv/ x=y ou x=-y

Pour la question 2:
Si n est paire:
$z=(iy{)}^{2k}$ (k appartient à N)
$z=(-y{)}^k$
Alors z est un réel.

Si n est impaire:
$z=(iy{)}^{2k^{\prime }+1}$ (k' appartient à N)
$z=(iy{)}^{2k^{\prime }}$ *(iy)
Là tu peux de servir de ce que je viens de faire avec n paire pour dire que dans le cas où n est impaire, z est égal à un nombre réel fois un imaginaire pur qui est iy.
Par conséquent, z est un imaginaire pur.
D'où z est un imaginaire pur si, et seulement si n est impaire.

[xav54]

mathsforever
z=(x+iy)²=x²+2xy-y²
Ainsi pour la b tu devrai avoir x²-y² = 0 equiv/ x=y ou x=-y

Pour la question 2:
Si n est paire:
$z=(iy{)}^{2k}$ (k appartient à N)
$z=(-y{)}^k$
Alors z est un réel.

Si n est impaire:
$z=(iy{)}^{2k^{\prime }+1}$ (k' appartient à N)
$z=(iy{)}^{2k^{\prime }}$ *(iy)
Là tu peux de servir de ce que je viens de faire avec n paire pour dire que dans le cas où n est impaire, z est égal à un nombre réel fois un imaginaire pur qui est iy.
Par conséquent, z est un imaginaire pur.
D'où z est un imaginaire pur si, et seulement si n est impaire.

Merci beaucoup !!! Moi et les erreurs de calcul .
Le sujet est clos et encore merci Mathsforever