Inégalités, étude de fonctions, aire et triangle



  • Bonjour à tou(te)s.
    Ma nièce m'a demandé son aide, malheureusement mes souvenirs sont bien loin... 😆
    La curiosité m'ayant piquée au vif, est-ce qu'un âme charitable pourrait m'éclairer sur la solution du problême ?

    http://pix.nofrag.com/00/6b/bb0303fba556c84e59bc427ce5a4.html

    au cas où le lien image ne marche pas :

    A Préliminaires

    1. u et v sont deux réels
      a/ Démontrez que ((u+v)/2) ^2 >= uv
      b/ Peut-on avoir l'égalité ?

    2. u et v sont deux réels strictement positifs
      a/ f est la fonction définie sur [0;+inf[ par : f(x)= 1/x * ((u+v+x)/3) ^3
      Démontrez que f a un minimum supérieur à uv

    b/ Déduisez-en que pour tous réels u,v,w, strictement positifs
    ((u+v+w)/3)^3 >= uvw

    c/ Démontrez que l'égalité a lieu ssi u=v=w

    B Application
    ABC est un triangle d'aire S dont les trois angles sont aigus. M est un point intérieur au triangle. On note p,Q,R les projetés orthogonaux respectifs de M sur les segments [AB], [BC], [CA].
    On pose MP=p, MQ=q et MR=r et Sp, Sq et Sr sont les aires des triangles MAb, MBC et MAC.

    1. En faisant jouer à Sp, Sq et Sr, les rôles respectifs de u, v et w, démontrez que :
      pqr <= ( 8S^3 ) / 27abc avec AB=c, AC=b et BC=a

    a/ Démontrez que pqr est maximal lorsque Sp=Sr=Sq=S/3
    b./ Démontrez alors que le centre de gravité du triangle ABC est un point pour lequel pqr est maximal.

    Merciiiiiiiiiiiii à vous ^^ 😁



  • Pistes pour les Préliminaires

    a/ (u+v)² = ... >= 0.
    b/ u = v, non ?

    a/ dérivée, signe de celle-ci et variations, sans doute.
    b/ conséquence directe (avec x = w).
    c/ si u=v=w, alors ok.
    mais faut voir la réciproque : si l'égalité a lieu, alors u=v=w...


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