Inégalités, étude de fonctions, aire et triangle

Bonjour à tou(te)s.
Ma nièce m'a demandé son aide, malheureusement mes souvenirs sont bien loin...
La curiosité m'ayant piquée au vif, est-ce qu'un âme charitable pourrait m'éclairer sur la solution du problême ?

au cas où le lien image ne marche pas :

A Préliminaires

u et v sont deux réels
a/ Démontrez que ((u+v)/2) ^2 >= uv
b/ Peut-on avoir l'égalité ?
u et v sont deux réels strictement positifs
a/ f est la fonction définie sur [0;+inf[ par : f(x)= 1/x * ((u+v+x)/3) ^3
Démontrez que f a un minimum supérieur à uv

b/ Déduisez-en que pour tous réels u,v,w, strictement positifs
((u+v+w)/3)^3 >= uvw

c/ Démontrez que l'égalité a lieu ssi u=v=w

B Application
ABC est un triangle d'aire S dont les trois angles sont aigus. M est un point intérieur au triangle. On note p,Q,R les projetés orthogonaux respectifs de M sur les segments [AB], [BC], [CA].
On pose MP=p, MQ=q et MR=r et Sp, Sq et Sr sont les aires des triangles MAb, MBC et MAC.

En faisant jouer à Sp, Sq et Sr, les rôles respectifs de u, v et w, démontrez que :
pqr <= ( 8S^3 ) / 27abc avec AB=c, AC=b et BC=a

a/ Démontrez que pqr est maximal lorsque Sp=Sr=Sq=S/3
b./ Démontrez alors que le centre de gravité du triangle ABC est un point pour lequel pqr est maximal.

Merciiiiiiiiiiiii à vous ^^

Pistes pour les Préliminaires

a/ (u+v)² = ... >= 0.
b/ u = v, non ?

a/ dérivée, signe de celle-ci et variations, sans doute.
b/ conséquence directe (avec x = w).
c/ si u=v=w, alors ok.
mais faut voir la réciproque : si l'égalité a lieu, alors u=v=w...